일반적으로 0은 1부터 9까지의 숫자보다 뒤늦게 만들어졌다는 것이다. 이러한 형상은 비단 인도에서 뿐만 아니라 소위 위치적 기법을 사용한 모든 지역에서 그러하다. 기원전 2000년경 바빌로니아 지역에서는 1과 10을 의미하는 두 기호와 60진법을 근간으로 하는 위치적 기수법이 사용되었다. 이 표기법에서는 0기호 대신 공간을 이용했다. 기원전 3세기경 파피루스에 남겨진 천문학적 기록을 보면 그리스인들은 영의 기호로 0을 사용하고 있음을 알 수 있다. 역사적 고찰을 통해 0은 아무것도 없음을 나타내는 관념적 혹은 철학적 기호의 필요성과 실제로 자리수를 나타내는 매우 실제적 용도에서 사용되었다.
「0은 아무것도 없는 비어있는 것이다. 0은 어떤 지점을 나타내는 것이다. 0은 자리수를 나타내는 것이다.」
수로서 0을 대상으로 하는 나눗셈 문제에 대한 인도 수학자들의 의견을 살펴보자.
★ 0에 관련된 나눗셈에 대하여
▣ 수≠0에서 수÷ 0은 불가능하다.
즉, 수=a에 대하여 a÷ 0은 불가능하다.
a≠0, a ∈N에서 a÷ 0=□이라고 하자. 그러면 a=□×0이다. □에 오는 수에 관계없이 □×0=0이다. 그러므로 a=0이다. 그런데 a≠0이라 했으므로 모순이다. 그러므로 □을 만족하는 해가 없음을 알 수 있다. 따라서 영이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 불가능하다.
▣ 0÷ 0은 가능하다. 그러나 그 값은 일정하지 않는다.
0÷ 0=□에서 0=0×□은 항상 성립한다. 그런데 □은 어느 수나 될 수 있다. 따라서 영을 영으로 나눌 수는 있으나 그 값은 어느 수나 될 수 있다. 이런 상황을 부정이라고 정의한다.
▣ 모든 수에 대하여 0÷ 수=0이다.
수=a, 0÷ a=□라고 하자. 0=□⨯a는 □=0인 경우뿐이다. 그러므로 0÷ a==0으로 볼 수 있다.
4차원에서 볼록한 도형에 해당하는 도형을 『초입방체』라고 부른다. 하이퍼큐브(hypercube) 또는 초입방체(超立方體)는 정사각형과 정육면체 등을 n차원으로 확장한 폴리토프이다. 이는 서로 평행이거나 직교하는 선분들로만 이루어져 있으며, 닫혀 있고 볼록한 컴팩트 공간을 이룬다.
모두가 수 0(zero)이 되고, 또 초입방체(하이퍼큐브)가 되어야 승리할 수 있다.
모두가 수 0(zero)이 되고, 또 초입방체(하이퍼큐브)가 되어야 승리할 수 있다.
일반적으로 0은 1부터 9까지의 숫자보다 뒤늦게 만들어졌다는 것이다. 이러한 형상은 비단 인도에서 뿐만 아니라 소위 위치적 기법을 사용한 모든 지역에서 그러하다. 기원전 2000년경 바빌로니아 지역에서는 1과 10을 의미하는 두 기호와 60진법을 근간으로 하는 위치적 기수법이 사용되었다. 이 표기법에서는 0기호 대신 공간을 이용했다. 기원전 3세기경 파피루스에 남겨진 천문학적 기록을 보면 그리스인들은 영의 기호로 0을 사용하고 있음을 알 수 있다. 역사적 고찰을 통해 0은 아무것도 없음을 나타내는 관념적 혹은 철학적 기호의 필요성과 실제로 자리수를 나타내는 매우 실제적 용도에서 사용되었다.
「0은 아무것도 없는 비어있는 것이다. 0은 어떤 지점을 나타내는 것이다. 0은 자리수를 나타내는 것이다.」
수로서 0을 대상으로 하는 나눗셈 문제에 대한 인도 수학자들의 의견을 살펴보자.
★ 0에 관련된 나눗셈에 대하여
▣ 수≠0에서 수÷ 0은 불가능하다.
즉, 수=a에 대하여 a÷ 0은 불가능하다.
a≠0, a ∈N에서 a÷ 0=□이라고 하자. 그러면 a=□×0이다. □에 오는 수에 관계없이 □×0=0이다. 그러므로 a=0이다. 그런데 a≠0이라 했으므로 모순이다. 그러므로 □을 만족하는 해가 없음을 알 수 있다. 따라서 영이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 불가능하다.
▣ 0÷ 0은 가능하다. 그러나 그 값은 일정하지 않는다.
0÷ 0=□에서 0=0×□은 항상 성립한다. 그런데 □은 어느 수나 될 수 있다. 따라서 영을 영으로 나눌 수는 있으나 그 값은 어느 수나 될 수 있다. 이런 상황을 부정이라고 정의한다.
▣ 모든 수에 대하여 0÷ 수=0이다.
수=a, 0÷ a=□라고 하자. 0=□⨯a는 □=0인 경우뿐이다. 그러므로 0÷ a==0으로 볼 수 있다.
★ 0에 관련된 덧셈과 뺄셈에 대하여
0+수=0, 수+0=수, 0+0=0, 수-0=수, 수-0=수, 0-0=0, 수-수=0, 0-0=0
『이런 성질을 종합하면 수 0은 마법의 수가 된다.』
1차원:선으로된 공간, 2차원:면으로된 공간. 3차원:입체로된 공간.4차원의 공간은 초입방체라고 한다 영어로는 하이퍼큐브이다.
중학생 이상이면 누구나 알고 있는 볼록한 도형에서 오일러의 공식은 다음과 같다.
꼭지점의 개수를 v, 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f하고 하면 v-e+f=2, v-e+f-1=1이다.
삼차원의 정육면체에서 v=8, e=12, f=5이므로 8-12+6-2=0이다.
이차원 평면에서는 초등학생에게로 돌아가 보자.
삼각형의 (꼭지점, 모서리, 면)=(3,3,1), 사각형의 (꼭지점, 모서리, 면)=(4,4,1), 오각형의 (꼭지점, 모서리, 면)=(5,5,1). 육각형의 사각형의 (꼭지점, 모서리, 면)=(6,6,1)이다.
어떤 경우이든 v-e+f-1=1이다. 즉, v-e+f=2가 성립한다.
다음에는 참여당원과 함께 사차원 이상의 공간으로 올라가 보자.
공간의 개수를 s라 하면 v-e+f-s+1=1이 항상 성립한다.
이것은 푸앵카레에 의하여 증명되었다.
4차원에서 볼록한 도형에 해당하는 도형을 『초입방체』라고 부른다. 하이퍼큐브(hypercube) 또는 초입방체(超立方體)는 정사각형과 정육면체 등을 n차원으로 확장한 폴리토프이다. 이는 서로 평행이거나 직교하는 선분들로만 이루어져 있으며, 닫혀 있고 볼록한 컴팩트 공간을 이룬다.
하이퍼큐브의 정체를 분석해보기로 하자.
꼭지점의 개수의 변경은 (0차원, 1차원, 2차원, 3차원, 4차원)=(1,2,4,8,모름)이다.
(1,2,4,8,모름)에서 1=2^0, 2=2^1, 4=2^2, 8=2^3이므로 모름=2^4= 16(개)이 될 것이다.
모서리의 개수의 변경은 (2차원, 3차원, 4차원)=(4÷2×2,8÷2×3,모름)에서 모름=(꼭지점의 개수)÷ 2×4=16÷ 2×4=32(개)이다. 여기서 4, 8은 꼭지점의 개수이다.
각 면은 정사각형으로 이루어져 있으므로 4개의 선분을 갖는다. 반대로 각 선분은 이차원에서는 1개의 면에 삼차원에서는 2개의 면의 경계가 됨을 알 수 있다.
면의 개수의 변경은 (2차원, 3차원, 4차원)=(4÷4×1,12÷4×1,모름)에서 모름=(모서리의 개수)÷2×4==32÷ 4×3=24(개)이다.
사차원에서 v=16, e=32, f=24, s=4이므로 v-e+f-s+1=16-32+24-8+1=1이다.
그렇다면 사차원에서 초입방체는 (꼭지점, 모서리, 면)=(16,32,24)인 물체로서
v-e+f-s+1=1을 만족하는 것이다. 삼차원에 거주하는 우리들로는 정확히 볼 수는 없지만 사차원의 초입방체는 그 형태를 상상할 수 있을 것이다. 다시 말해서 삼차원의 나는 사차원에서는 초입방체로서의 내가 되는 것이다.
『사차원의 세계에서는 삼차원의 세계(공간)를 삼차원의 세계에서는 2차원의 세계(평면)를 2차원의 세계에서는 1차원의 세계(직선)를 직시할 수 있다. 그러나 반대방향으로의 투시는 불가능하다.』
필자의 주장은 『참여당원들은 사차원 세계에 존재하는 초입방체(하이퍼큐브)가 되라』는 것이다. 그러면 삼차원 공간에 거주하는 한나라당은 마음대로 요리 할 수 있다.
http://blog.hani.co.kr/hanjy9713/43990에서
사차원 세계에 존재하는 초입방체(하이퍼큐브)가 되라.