여론마당 베스트에 올라와있는 "로또 조작"이라는 글에 달린 리플에
엄청난 수학적 무지를 자랑하고 계시는분이 있길래 여기 이렇게 글을 씁니다.
그사람 이름은 밝히진 않겠지만, 자기가 틀린것까진 괜찮은데 다른사람이 제시하는 의견은(그게 정답임에도 불구하고) 무시하고 그런사람들 모두에게 나눔로또 직원이라고 매도를 하네요.
이건 뭐 촛불시위나간사람은 다 빨갱이며 촛불시위 반대하는사람은 다 수구꼴통알바로 몰아붙이는것과 뭐가 다릅니까?
이 글에선 로또의 조작여부는 논하지 않고,
이번 회차의 결과 17, 18, 31, 32, 33, 34 처럼 연속된 번호가 나올수 있는가에 대해 논해보겠습니다.
확률? 확률의 기본은 경우의 수입니다.
구하고자 하는 사건의 경우의 수를 전체 가능한 사건의 경우의 수로 나눈것이 구하고자 하는 사건이 일어날 확률이구요.
로또 확률인 814만이 어디서 나온 숫자냐고 하는데
정확한 숫자인 8145060은 45가지 중에서 6개를 순서에 상관없이 배열하는 경우의 수인
45C6를 계산한 결과입니다.
다시 말해서 이 숫자는, 1부터 45까지의 숫자중 6개를 뽑아서 만들수 있는 조합의 개수라는것이며
위에서 언급한 확률의 정의의 "전체 가능한 사건의 경우의 수"입니다.
이때 로또 기계에서 뽑아내는 조합은 오로지 한가지이므로 로또에 당첨될 확률은
1 / 8145060이 맞습니다.
혹시나 모를까봐 적어두죠.
n개중 r개를 순서없이 나열하는 경우의 수를 뜻하는 조합(Combination)은
nCr로 표현되며, 이것을 풀면 n! / (n-r)!r!이 됩니다.
또 여기서 !이라 함은 계승(factorial)으로 1부터 쓰여져있는 숫자까지의 자연수를 모두 곱한 값이입니다.
이때, 당첨될 확률을 구하는건
내가 선택한 조합중에, 로또 기계가 뽑아내는 조합이 있는 경우입니다.
맨처음 말한 사람들이 확률을 착각하는건, 로또를 산사람의 입장이 아니라, 로또 조합을 뽑아내는 기계의 입장에서 생각하기때문에 오류가 생긴겁니다.
하지만 이 역시도 착각하지 않는다면 같은 결과를 이끌어 낼 수 있는데,
다시말해서 그냥 착각해서 틀렸다는 말이죠.
리플을 시간순으로 읽어보면 한동안 말도 안되는 궤변으로 반박을 하다가
한번 빵 터뜨려줍니다.
"쐬기를 박죠.
45개 중에서 1번이 나올 확률은 1/45입니다.
그다음 공이 2번이 나올 확률은 (1/45)의 44제곱입니다.
그 다음 공이 3번이 나올 확률은 (1/45)44제곱에 다시 43제곱을 해야 합니다.
이런 식이죠 물론 공이 1.2.3.4... 이런 순이 아니라
4.1.3.2... 이런식으로 나올 수 있으므로 확률상 조금 줄어들기는 하지만
연번의 확률은 무작위의 확률보다 훨씬 낮은 확률입니다."
45개 중 1번이 나올 확률은 1/45 맞습니다.
그런데 왜 그다음 2번공이 나올 확률이 (1/45)^44 = 0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000018140505876840393821250329089932이 된다는거죠?
그 다음 공이 3번이 나올 확률이 ((1/45)^44)^43제곱이면
1.3241096084543589439808400680653e-3128
= 0.00000000~~~~~~(0이 3127개붙음)~~~00013241096084543589439808400680653입니다.
도대체 이런숫자는 어디서 쓰나요? 원자세계에서도 쓰지 않습니다.
각설하고 제대로 설명해드리시죠
45개 중 1번을 뽑읍시다. 이때 확률이 1/45라는건 아까 말씀 드렸죠?
그럼 두번째 공을 뽑는데요, 아까 1은 뽑았으니 이제 공은 2~45까지의 44개가 남네요.
연속한다고 생각하지마시고
새로운 경우로 생각해보십시다.
44개중 2번을 뽑읍시다. 같은 논리로 이 확률은 1/44가 됩니다.
따라서 45개중 1번을 뽑은 후, 44개중 2번을 뽑을 확률은 1/45 × 1/44 가 되는거지
여기서 제곱이 나올 이유가 없습니다.
차례로 1~6까지 뽑는 경우를 생각해보면
1/ 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 1 / 5,864,443,200
58억분의 1이 나오네요.
8145060분의 1이랑 다른데? 라고 생각하십니까?
로또 기계에서 6,1,3,5,2,4 의 순서로 뽑은경우는 1,2,3,4,5,6 과 다른경우인가요?
나참 그럼 로또 카드 마킹하는 순서까지 같아야합니까 ㅋㅋ
어쨋든 숫자 순서가 바뀌어도 각각의 확률은 58억분의 1로 같고
같은 경우의 수가 6!개가 720개가 있으니
확률은 720 / 5864443200 = 1/8145060 같습니다.
이렇게 연번이 나오는 경우나, 마구잡이로 (예를들면) 2, 5, 15, 33, 35, 42
이렇게 나오는 경우나 확률을 계산해보면 같죠.
이래 생각해보니 어떤 오해가 생겼는지 또 생각이 가는군요.
연번이 아무런 번호보다 나올 확률은 희박한거 맞습니다.
당연하죠. 연번조합이 일반조합보다 떨어지는데요.
하지만 생각해보시죠.
저는 남자인데 저희반엔 남자 10명, 여자 50명이 있습니다.
이때 아무나 한명을 뽑아 반장을 시키는데,
남자가 반장될 확률이 여자가 반장될 확률보단 작은게 확실하죠?
그런데
남자중 한명인 제가 반장이 될 확률이, 여자중 한명이 반장될 확률보다 작습니까?
