우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다. 여하간 이제 떡 돌릴 날이 얼마 안 남았다.
한재영교수2012.02.09
조회27
『우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다.』
연속이라는 것에 대하여!
함수 전체가 정의역 전체 위에서 거동하는 것을 대역적 성질(gloval property)이라고 한다. 반면에 점에서 거동하는 것을 국소적 개념(local concept)이라고 한다.
백과사전에 따르면 세계화(전지구화)는 그동안 달랐던 사회가 전 세계적으로 서로 밀접한 관계를 갖는 연속적인 과정을 일컫는다. 세계화의 과정은 일반적으로 경제적인 관계를 말하는 경우가 많다. 최근에는 문화적인 측면의 세계화에 대한 논의가 활발하다. 경제 강대국 중심의 세계 재편이라는 비판도 있다. 세계화(Globalization)란 각 국가경제의 세계경제로의 통합을 의미한다. 세계화는 자본수출 경쟁력의 우위를 통해 세계경제에 대한 일부 선진국의 패권적 지배를 강화시키며 세계화에 매몰된 일부 국가의 주권이 침해를 받을 수도 있다.
※세계화는 국가간 계층간 소득의 양극화를 확대시키는데도 한 몫을 하고 있다.※
세계화가 반드시 좋은 것만은 아니지만 세계의 모든 국가는 그 대세의 흐름 때문에 자의든 타의든 세계화에 동참하고 있다.
자명공주 호동식 이야기는 국영문합본판 1천700부로 이 책의 총 계약금은 무려 150만원으로 계약금 일체가 사비가 아닌 「호동식 세계화」 사업 예산에서 책정 사용했다 했다. 실제 낭랑의 어떤 만찬장에서 참가국 공주 만찬에서 자명공주는 111원짜리 「자명공주 호동식 이야기」란 요리책을 선물로 전달했다고 한다.
※여하간 이제 떡 돌릴 날이 얼마 안 남았다.※
세계화의 덫에 걸려든 000(영三)은 세계화라는 이름으로 우리 재산과 기업을 외국 투기자본에 넘겨주어서 국민을 고통 속에 빠지게 했다. 우리말과 얼을 짓밟아 우리가 선진국이 되려는 발목을 잡았다. 국제통화기금의 경제 식민지가 된 2년 뒤인 1099년 2월 2일을 기점으로 세계화추진위원회를 만들게 된다. 그는 운수회관에서 주최한 어떤 모임에서 훈민정음을 흥분시켰다.
※영어조기교육은 성공했는데 한자조기교육은 시행하지 못해 아쉽다.※
빈공세개는 준비도 없이 세계화 외치더니 결국은 IMF로 세계화하였다. 또 한 사람은 영어만으로 선진화를 외치고 있다. 그는 누구나 만나면 친구라고 한다. 부시도 바오바도 일왕도 이화정도 도대체 그의 친구가 아닌 사람이 없다. 친구가 아닌 사람은 말도 않꺼내니까?
그렇지만 그 모두가 다음과 같은 말을 인정함으로써 수많은 수학전문학원을 길거리에 있게 했다. 현대 수학의 아버지로 불리는 힐베르트는 20세기 대표 수학자였다.
힐베르트는 다음과 같은 표어를 만든 사람으로도 유명하다.
♥수학으로 미래를 열어라.♥
힐베르트는 몇 십 년 동안 어느 수학자도 풀지 못했던 『고르단의 문제』를 풀었다.
「불변식」 이란 사상이나 연산 (변위) 을 통해 변화하지 않는 것을 말한다.
힐베르트는 수학의 발전을 꾀하고 새 길을 찾을 것을 세계 수학자들에게 호소한다. 언제 풀릴지 알 수 없는 문제들을 내놓으며 힐베르트는 자신감 있게 외친다.
※우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다.※
현대를 살아가는 우리는 알아야 한다. 함수의 연속성을 알게 될 것이다.
위상공간 (X,Ω(X))에서 위상공간 (Y,Ω(Y))로의 함수 f가 위상적으로 연속이란 Y의 모든 열린집합의 역상이 X 위의 열린집합이 되는 것을 말한다.
H∈Ω(Y)이면 f^-1 (H)∈Ω(X)이다.
X={a,b,c,d}, Y={x,y,z,w} 위의 위상이 다음과 같다고 하자.
Ω(X)={X,Ø ,{a},{a,b},{a,b,c}}
Ω(Y)={Y,Ø ,{x},{x,y},{y,z,w}}
대응 f를 다음처럼 주어보자.
f(a)=y, f(b)=z, f(c)=w, f(d)=z
그러면 Y의 역상은 X, Ø 의 역상은 Ø , {x}의 역상은 Ø , {x,y}의 역상은 {a}, {y,z,w}의 역상은 {a,b,c}이다. 따라서 이렇게 주어진 함수 f는 연속의 정의를 만족한다.
대응 g를 다음처럼 주어보자.
g(a)=x, g(b)=x, g(c)=z, g(d)=w
여기서 {y,z,w}의 역상은 {c,d}이다. 하지만 {c,d}는 Ω(X)의 원소가 아니다. 따라서 함수 g는 위상적으로 연속이 아니다.
공이 아닌 집합 X에 대하여 집합족 {X,Ø }를 비이산공간(indiscrete space)라고 한다. X의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합족을 이산공간(discrete space)이라고 부른다.
위상공간(topological space)의 정의를 검색하면 다음과 같다.
X가 공집합이 아닌 집합이라 하자. X의 부분집합족(subset family) Ω가 다음 공리를 만족할 때 Ω을 X 위의 위상(topology)이라고 한다.
X와 Ø 는 Ω에 속한다.
Ω에 속하는 임의 개수의 집합의 합집합은 Ω에 속한다.
Ω에 속하는 임의 두 집합의 교집합은 Ω에 속한다.
임의의 이산공간 Ω(X)에서 임의의 위상공간 ζ(Y)으로 대응하는 임의의 함수는 항상 연속이다. 왜냐하면 임의의 열린집합 B∈ζ(Y)의 역상은 X의 부분집합이고, 이 부분집합은 당연히 Ω(X)의 원소이기 때문이다.
임의의 위상공간 X,Y에 대하여 함수 f:X→Y를 생각하자. 만약 η={B_i}가 Y의 기저이면 Y의 임의의 열린집합은 B_i들의 합집합으로 표시될 것이다. H= ∪B_i이면 f^-1(H)=f^-1(∪B_i)=∪f^-1(U_i)이다. 따라서 기저에서 연속이면 모든 곳에서 연속이 된다.
이제부터는 참여가족 자녀들을 위한 대학수능 문제를 다뤄보자.
※평면 R²에서 직선 R로의 사영사상은 모든 보통위상에 대하여 연속이다.※
π(x,y)=y로 주어진 사영 π:R²→R을 생각하자.
임의의 열린구간 (a,b)에 대하여 그 역상은 무한개띠(infinite open stript)가 된다.
우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다. 여하간 이제 떡 돌릴 날이 얼마 안 남았다.
『우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다.』
연속이라는 것에 대하여!
함수 전체가 정의역 전체 위에서 거동하는 것을 대역적 성질(gloval property)이라고 한다. 반면에 점에서 거동하는 것을 국소적 개념(local concept)이라고 한다.
백과사전에 따르면 세계화(전지구화)는 그동안 달랐던 사회가 전 세계적으로 서로 밀접한 관계를 갖는 연속적인 과정을 일컫는다. 세계화의 과정은 일반적으로 경제적인 관계를 말하는 경우가 많다. 최근에는 문화적인 측면의 세계화에 대한 논의가 활발하다. 경제 강대국 중심의 세계 재편이라는 비판도 있다. 세계화(Globalization)란 각 국가경제의 세계경제로의 통합을 의미한다. 세계화는 자본수출 경쟁력의 우위를 통해 세계경제에 대한 일부 선진국의 패권적 지배를 강화시키며 세계화에 매몰된 일부 국가의 주권이 침해를 받을 수도 있다.
※세계화는 국가간 계층간 소득의 양극화를 확대시키는데도 한 몫을 하고 있다.※
세계화가 반드시 좋은 것만은 아니지만 세계의 모든 국가는 그 대세의 흐름 때문에 자의든 타의든 세계화에 동참하고 있다.
자명공주 호동식 이야기는 국영문합본판 1천700부로 이 책의 총 계약금은 무려 150만원으로 계약금 일체가 사비가 아닌 「호동식 세계화」 사업 예산에서 책정 사용했다 했다. 실제 낭랑의 어떤 만찬장에서 참가국 공주 만찬에서 자명공주는 111원짜리 「자명공주 호동식 이야기」란 요리책을 선물로 전달했다고 한다.
※여하간 이제 떡 돌릴 날이 얼마 안 남았다.※
세계화의 덫에 걸려든 000(영三)은 세계화라는 이름으로 우리 재산과 기업을 외국 투기자본에 넘겨주어서 국민을 고통 속에 빠지게 했다. 우리말과 얼을 짓밟아 우리가 선진국이 되려는 발목을 잡았다. 국제통화기금의 경제 식민지가 된 2년 뒤인 1099년 2월 2일을 기점으로 세계화추진위원회를 만들게 된다. 그는 운수회관에서 주최한 어떤 모임에서 훈민정음을 흥분시켰다.
※영어조기교육은 성공했는데 한자조기교육은 시행하지 못해 아쉽다.※
빈공세개는 준비도 없이 세계화 외치더니 결국은 IMF로 세계화하였다. 또 한 사람은 영어만으로 선진화를 외치고 있다. 그는 누구나 만나면 친구라고 한다. 부시도 바오바도 일왕도 이화정도 도대체 그의 친구가 아닌 사람이 없다. 친구가 아닌 사람은 말도 않꺼내니까?
그렇지만 그 모두가 다음과 같은 말을 인정함으로써 수많은 수학전문학원을 길거리에 있게 했다. 현대 수학의 아버지로 불리는 힐베르트는 20세기 대표 수학자였다.
힐베르트는 다음과 같은 표어를 만든 사람으로도 유명하다.
♥수학으로 미래를 열어라.♥
힐베르트는 몇 십 년 동안 어느 수학자도 풀지 못했던 『고르단의 문제』를 풀었다.
「불변식」 이란 사상이나 연산 (변위) 을 통해 변화하지 않는 것을 말한다.
힐베르트는 수학의 발전을 꾀하고 새 길을 찾을 것을 세계 수학자들에게 호소한다. 언제 풀릴지 알 수 없는 문제들을 내놓으며 힐베르트는 자신감 있게 외친다.
※우리는 알아야 한다. 우리는 알게 될 것이다.※
현대를 살아가는 우리는 알아야 한다. 함수의 연속성을 알게 될 것이다.
위상공간 (X,Ω(X))에서 위상공간 (Y,Ω(Y))로의 함수 f가 위상적으로 연속이란 Y의 모든 열린집합의 역상이 X 위의 열린집합이 되는 것을 말한다.
H∈Ω(Y)이면 f^-1 (H)∈Ω(X)이다.
X={a,b,c,d}, Y={x,y,z,w} 위의 위상이 다음과 같다고 하자.
Ω(X)={X,Ø ,{a},{a,b},{a,b,c}}
Ω(Y)={Y,Ø ,{x},{x,y},{y,z,w}}
대응 f를 다음처럼 주어보자.
f(a)=y, f(b)=z, f(c)=w, f(d)=z
그러면 Y의 역상은 X, Ø 의 역상은 Ø , {x}의 역상은 Ø , {x,y}의 역상은 {a}, {y,z,w}의 역상은 {a,b,c}이다. 따라서 이렇게 주어진 함수 f는 연속의 정의를 만족한다.
대응 g를 다음처럼 주어보자.
g(a)=x, g(b)=x, g(c)=z, g(d)=w
여기서 {y,z,w}의 역상은 {c,d}이다. 하지만 {c,d}는 Ω(X)의 원소가 아니다. 따라서 함수 g는 위상적으로 연속이 아니다.
공이 아닌 집합 X에 대하여 집합족 {X,Ø }를 비이산공간(indiscrete space)라고 한다. X의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합족을 이산공간(discrete space)이라고 부른다.
위상공간(topological space)의 정의를 검색하면 다음과 같다.
X가 공집합이 아닌 집합이라 하자. X의 부분집합족(subset family) Ω가 다음 공리를 만족할 때 Ω을 X 위의 위상(topology)이라고 한다.
X와 Ø 는 Ω에 속한다.
Ω에 속하는 임의 개수의 집합의 합집합은 Ω에 속한다.
Ω에 속하는 임의 두 집합의 교집합은 Ω에 속한다.
임의의 이산공간 Ω(X)에서 임의의 위상공간 ζ(Y)으로 대응하는 임의의 함수는 항상 연속이다. 왜냐하면 임의의 열린집합 B∈ζ(Y)의 역상은 X의 부분집합이고, 이 부분집합은 당연히 Ω(X)의 원소이기 때문이다.
임의의 위상공간 X,Y에 대하여 함수 f:X→Y를 생각하자. 만약 η={B_i}가 Y의 기저이면 Y의 임의의 열린집합은 B_i들의 합집합으로 표시될 것이다. H= ∪B_i이면 f^-1(H)=f^-1(∪B_i)=∪f^-1(U_i)이다. 따라서 기저에서 연속이면 모든 곳에서 연속이 된다.
이제부터는 참여가족 자녀들을 위한 대학수능 문제를 다뤄보자.
※평면 R²에서 직선 R로의 사영사상은 모든 보통위상에 대하여 연속이다.※
π(x,y)=y로 주어진 사영 π:R²→R을 생각하자.
임의의 열린구간 (a,b)에 대하여 그 역상은 무한개띠(infinite open stript)가 된다.
따라서 π에 의한 역상은 R²의 열린집합이다.
또 다른 문제는 『R 위의 절대함수는 연속이다』라는 것이다.
절대함수란 f(x)=|x|, x∈R 을 말한다.
왜냐하면 A=(a,b)가 R 위의 열린구간이면 아래와 같다.
a
a<0
0≤a