100명의 표본에서 77%가 참여당의 집권을 위해 기도한다고 한다. 참여당의 지지하는 사람들의 모비율에 대한 90% 신뢰구간을 추정하여라.
답 : p^=0.77, α_p^=√[(p^(1-p^)/n]=0.0421이다.
90% 신뢰구간에서 α=0.1에 대하여 z_(α/2)=1.645이다.
따라서 모비율에 대한 90% 신뢰구간은 0.77±1.645×0.041=0.77±0.0692이다.
참여당 집권을 기도하는 사람들의 모비율 77%에 대한 90% 신뢰구간은 0.7008∼0.8392이다.
참여당이 유시민 대표에게 전달한 보고서 내용은 다음과 같다.
『유시민 대표를 지지하게 되는 90% 신뢰구간은 대략 70%에서 83%이다.』
【신뢰구간에 대한 사전지식】
구하려고 하는 추정이 모비율로부터 얼마나 떨어졌는지를 또 이것을 얼마나 신뢰하는지를 알고자 한다.
오차의 한계란 다음과 같이 복잡한 수식이다.
E=z_(α/2)√([p^(1-p^)]/2n)
『대중적 진보연합』의 대중적 여섯 번째 관심사항
참여당의 정당정책을 신뢰하는 사람들은 비율을 99%로 추정하고 싶어 한다. 이전의 조사에서는 조사된 사람들의 91%가 참여당의 정당정책을 신뢰했음을 보여 준다. 참여당 관계자는 모비율이 3% 이내에 정확히 바라고 있다. 참여당원이 이 분석을 수행하는데 필요한 최소한의 표본 크기를 구하여라.
인생무상이 서러워 나 어이나 할 거나.(수리철학의 영광을 위하여!)
인생무상이 서러워 나 어이나 할 거나.
『소동파가 부른 노래의 시리즈 7편』는 야후에서의 검색 「위대한 인간정신(한재영)」에서 이론전개에 필요한 사항순서로 살펴볼 수 있을 것이다.
위나라의 80만 대군을 이끌고 보무도 당당히 진군하던 조조는 적벽대전에서 대함대를 함몰 당하였다. 적벽대전 후 팔백년이 지난 어느 달 밝은 밤에 송나라의 소동파라는 시인이 역사의 덧없음을 탄식하며 적벽부를 읊었다.
적벽부의 마지막 부분은 이러했다.
「허무한 인생이 덧없이 늙어 객이 기뻐 미소 지으며, 술잔을 씻어 다시 술을 따랐다.
과거지사가 꿈이로구나! 생각을 하니 안주가 이미 다 떨어지고, 잔과 접시가 마구 어지럽게 흩어졌다. 인생무상이 서러워 나 어이나 할 거나.」
송나라 시인 주돈이(1017~1073)가 지은 『애련설』을 읽기만 하고, 오는 주말에는 창덕궁에 있는 『애련정』에나 가볼가나.
「나는 유독, 진흙에서 나왔으나 더러움에 물들지 않고,
맑고 출렁이는 물에 씻겼으나 요염하지 않고, 속은 비었고 밖은 곧으며, 덩굴은 뻗지 않고 ,가지를 치지 아니하며 향기는 멀수록 더욱 맑고, 꼿꼿하고 깨끗이 서있어,
멀리서 바라볼 수는 있으나 함부로 가지고 놀 수 없는 연꽃을 사랑한다.」
지금부터는 모비율에 대한 신뢰구간을 정하는 순서를 설명하려고 한다.
【신뢰구간에 대한 사전지식】
크기 n인 임의표본의 모비율이 p인 모집단에서 선택된다. np>5이고 n(p-1)>5이면 표본비율 p^는 표본분표 평균 μ_p=p이고 표준편차는 σ_p=√(p(1-p)/n이다.
『대중적 진보연합』의 대중적 네 번째 관심사항
【신뢰구간의 추정】남자 100명을 임의로 뽑을 때 그들 중 55명이 참여당 대표를 지지하였다. 참여당 지지자의 비율을 95% 신뢰구간으로 추정하여라.
답 : 여기서 n=100, p^=0.55, σ_p=√(p(1-p)/n=0.0497이다.
p^에 대한 표본분포는 정규분포에 근사하므로 경험규칙으로부터 p^값의 95%가 p≈p^의 2×표준편차 내에 있을 것이다.
따라서 참여당 지지자의 비율에 대한 95% 신뢰구간 추정은 0.55±2×0.0479=0.55±0.0994이다. 그러므로 0.4506∼0.5997이다.
따라서 신뢰구간은 45.06%에서 59.97%이다.
참여당이 유시민 대표에게 전달한 보고서 내용은 다음과 같다.
『유시민 대표 지지자의 비율을 95% 신뢰구간으로 추정하면 그 신뢰구간은 46%에서 59%이다.』
【신뢰구간에 대한 사전지식】
α=0.1, 0.05, 0.01에 대응하는 z_α, z_(α/2)의 값은 다음과 같다.
(α, z_α, z_(α/2))=(0.1,1.28,1.645), (α, z_α, z_(α/2))=(0.05,1.645,1.96),
(α, z_α, z_(α/2))=(0.01,2.32, 2.576)
이 표에서 z_0.05의 값을 구하면 1.645이다.
α와 신뢰구감 사이의 신뢰구간이 (1-α)×100%이다.
예를 들면
『 98% 신뢰구간을 구하려면 0.98=1-α에서 α=0.02이다.』
『대중적 진보연합』의 대중적 다섯 번째 관심사항
100명의 표본에서 77%가 참여당의 집권을 위해 기도한다고 한다. 참여당의 지지하는 사람들의 모비율에 대한 90% 신뢰구간을 추정하여라.
답 : p^=0.77, α_p^=√[(p^(1-p^)/n]=0.0421이다.
90% 신뢰구간에서 α=0.1에 대하여 z_(α/2)=1.645이다.
따라서 모비율에 대한 90% 신뢰구간은 0.77±1.645×0.041=0.77±0.0692이다.
참여당 집권을 기도하는 사람들의 모비율 77%에 대한 90% 신뢰구간은 0.7008∼0.8392이다.
참여당이 유시민 대표에게 전달한 보고서 내용은 다음과 같다.
『유시민 대표를 지지하게 되는 90% 신뢰구간은 대략 70%에서 83%이다.』
【신뢰구간에 대한 사전지식】
구하려고 하는 추정이 모비율로부터 얼마나 떨어졌는지를 또 이것을 얼마나 신뢰하는지를 알고자 한다.
오차의 한계란 다음과 같이 복잡한 수식이다.
E=z_(α/2)√([p^(1-p^)]/2n)
『대중적 진보연합』의 대중적 여섯 번째 관심사항
참여당의 정당정책을 신뢰하는 사람들은 비율을 99%로 추정하고 싶어 한다. 이전의 조사에서는 조사된 사람들의 91%가 참여당의 정당정책을 신뢰했음을 보여 준다. 참여당 관계자는 모비율이 3% 이내에 정확히 바라고 있다. 참여당원이 이 분석을 수행하는데 필요한 최소한의 표본 크기를 구하여라.
답 : α=0.01, z_(α/2)=2.576, p^=0.91, E=0.03이다.
공식에 대입하면 표본의 크기는
n=p^(1-p^)[z_(α/2)/E]²=(0.91)(1-0.91)(2.576/0.03)²=603.86≈604
따라서 적어도 604개의 표본이 필요하다.
『유시민의 대중적 진보신당의 정책을 신뢰하는 사람들을 99%로 추정하려면 604명 이상의 표본이 필요하다. 』
야후 : 위대한 인간정신(한재영)으로
인생무상이 서러워 나 어이나 할 거나.(수리철학의 영광을 위하여!)