길고양이가 집고양이로 적응하려면?

얼마 전 제가 16년 키우던 고양이가 가고 다시는 고양이 안 키운다 다짐 했으나 집 주변에 고양이 두 마리가 경계도 안하고 무척 친한 척을 하길래, 남은 고양이 간식이 있어서 주었더니 끼니때마다 옵니다. 주변에 알아보니 한 마리는 주인이 있는데 다른 한 마리는 넉살 좋게도 동네 모든 집에서 밥을 얻어 먹고 다니는 주인 없는 고양이 입니다.

제가 지금은 새로 고양이를 키울 수 있는 상황이 아니지만(남편이 비염, 털 알레르기 비슷한 과민증이 있습니다) 그래도 끼니마다 찾아 오는 녀석을 내칠 수 없어서 나한테 온 이유가 있겠지 하고 내 고양이로 키우기로 마음 먹었습니다.

도움의 말이 필요한 부분이, 이 녀석이 완전 사냥꾼 입니다. 낮에는 집 안에서 자다가 밤이 되면 나가는데 아침마다 보은 차원으로다 문 앞에 매일 새 한 마리씩(그것도 먹지는 않고 부분적으로 훼손 피 뚝뚝) 놓여 있습니다. 3일간은 문 앞에 어느 집 설거지 쑤세미가 있기도 했습니다. 저희 집이 마당이 있고 나무가 있는 집이라 따로 고양이를 위한 실내 화장실을 만들어 놓지 않습니다. 집안에 가두어 봤으나 나갈 곳을 찾아 헤매 입니다.  집안을 언제나 들어오고 나갈 수 있는 켓도어가 있습니다. 배가 부르면 사냥을 덜할까 싶어서 밥을 심하게 과하게 줍니다. 그래도 동네를 아주 거의 날라 다니면서 사냥을 멈추지 않아요.

밤에도 집에서 자게 하고 사냥을 덜 하게 할 수 있는 방법이 없을까요? 중성화 안 했는데 중성화가 답인가요?