1. 직관적 사고와 분석적 사고 지금의 수학 교과서는 분석적 사고를 필요로 하는 내용 위주로 구성되어 있다. 어린이들이 수 학을 어려워하는 이유도 거기에 있다. 구체적이고 감각적인 사고 방식에서 논리적이고 지적인 사고 방식으로 점진 이행할 수 있도록 해 주는 것은 중요한 교육적 과제이기는 하지만 그렇다고 수학의 논리적인 내용을 설명을 통하거나 형식적으로 제시하려는 것은 아이의 성장 심리와는 너무나 거리가 멀고 아이의 사고 내용에 어떠한 시사도 주지 못하는데 오늘날의 수학 교과 내용 은 수 형식의 분석적인 설명에 치중하여 아이들로 하여금 출발부터 거부감을 갖게 하고 있다. 어린이들의 성장단계는 감각적 시각에 의한 사고이기 때문에 대략 암중 모색하는 식의 사고를 좋아하는데 아이들에게 분석적 사고가 무리없이 받아들여지기 위해서는 앞서서 우선 대략 암중 모색하여 추측해 낼 수 있는 능력이 있어야 한다. 문제의 근본에 대한 아이들의 감각 정도를 무 시하고 문제의 구조적 형식만을 설명하려는 것은 결국 아이들을 엉뚱한 곳으로 인도하는 결과만 을 초래할 뿐이다. 보통 말을 잘한다고 해서 천재라고 하지는 않는다. 천재란 설사 설명을 잘못하거나 형식 구조 에 대해서는 잘 모르더라도 문제의 근본을 꿰뚫어 느낄 줄 아는 사람을 말한다. 그래서 말 잘하는 바보와 말 못하는 천재는 구별할 일이다. 곧 말을 잘한다는 것은 문제의 형식에 치중해 있는 것이고 꿰뚫어 느낀다는 것은 문제의 근본에 치중해 있다고 할 수 있다. 분석적 사고란 형식을 통해서 문제의 구조를 규명하는 것이지만 문제의 근본을 꿰뚫어 느낄 수 있는 직관적 능력이 전제되지 않는 한 자칫 형식 그 자체만 강조하는 결과를 가져오게 된다. 직관적 사고란 분석적 사고의 전제이지만 다른 한 편으로 최종 목표가 되어야 한다. 복잡한 지 식을 분석할 수 있기 위해서는 우선 단순한 지식들에 대한 직관적인 능력이 충분히 있어야 하고 아울러 분석된 지식은 다시 직관화될 때까지 충분히 숙습이 되어야 한다. 완전히 직관화되어야 만이 그 지식의 근본을 이해했다고 할 수 있으며 완전히 직관화된 지식만이 다음 상위 과정에 적용할 수 있을 것이다. 수학 학습은 따라서 직관-분석-직관의 도식으로 상승 반복해야 하며 그 과정을 통해서 비로소 수리력이 올바로 정착할 수 있는 것이다. 직관력은 문제의 근본을 파헤치는 힘을 주고 아울러 사고의 도약과 창조를 가능하게 해주며 분석적 사고는 거기에 형식을 부여해 주는 것이기 때문 에 수학학습에서도 단계적인 성장심리에 맞는 교육 체계를 존중해야 할 것이다. 직관적인 사고 능력은 형식에 대한 충분한 반복 연습에서만 가능하다. 보통 푸는 방법만 외우고 있는 정도로는 문제의 근본을 이해하고 있다고 할 수가 없다. 푸는 방법(공리)을 알면 거기에 해당하는 수많은 문제를 섭렵해야 그 근본을 찾아갈 수 있게 되고 수많은 문제 풀이 과정에서 근본은 직관화되어 간다. 특히 형식이 크게 강조되지 않는 가장 단순한 형태일수록 직관적 사고력은 배양된다. 그래 서 수가 처음 도입되는 유아 과정이나 저학년 과정의 기초 필산 과정일수록 즉, 쉬운 것일수록 더욱 더 연습해 두는 것이 중요하다. 수학에서 기초 계산력이 중시되는 이유는 문제를 풀기 위 한 수단으로서의 중요성도 있지만 이 기초 계산력이 문제에 대한 직관능력을 좌우하기 때문이 다. 따라서 설명할 줄 알기보다는 연습할 줄 알아야 한다. 연습없이 설명만 할 줄 아는 아이는 학년에 관계없이 지능에 관계없이 중학교 이후부터 반드시 수학실력에 불안을 느끼게 된다. 그 리고 연습은 하면 할수록 수학적 직관력에 크게 보탬이 되므로 쉽고 간단한 문제일수록 많은 연 습량을 확보해 두어야 한다.
2. 계통성 수학 교과의 내용은 계통적으로 발전 형성되어 있다. 곧 저학년 내용은 고학년 내용으로 발전 하는 기반이고 고학년의 내용은 저학년 내용을 기반으로 새로운 형식을 부여하는 식이다. 덧셈의 역연산은 뺄셈이고 덧셈 중에서 동수 누가는 곱셈으로 발전하며 이 세 가지가 복합되어 나눗셈으로 그리고 이 사칙을 기반으로 분수가 형성된다. 분수는 기초 계산력의 최고봉으로 그 위에 고등 수학(방정식 체계)이 건립된 것이다. 그래서 덧셈을 잘못하면 곱셈을 잘못하고 뺄셈을 잘못하면 나눗셈을 잘못하게 되고 또 사칙이 잘 안되면 분수가 잘 안되고 분수가 빨리 처리되지 않으면 중학 수학이 난감해진다. 중학생들의 수학 실력이 저조한 것은 문제가 어려워서라기 보 다 확대되는 학문 영역을 기초 계산력이 약함으로써 충분히 소화해 내지 못하여 학습 결손이 누 적되어 있기 때문이다. 수학은 그 계통성을 중시하는 학습일 때만이 손쉽게 이해되는 학문이다. 수학의 쉽고 어려움은 백지 한 장 차이와 같은 것이며 그 것은 수의 계통성을 중시하느냐의 여 부에 달려 있다. 이상에서와 같이 수학적 직관력과 수학 고유의 계통성은 기초 계산력의 중요성을 강조하고 있 다. 기초 계산력이 기계적이라고 그 것을 등한시하는 우둔함을 저질러서는 안 된다. 계산을 끊임 없이 반복할수록 사고의 구조성과 수학 고유의 계통성으로 인하여 수학을 잘해낼 수밖에 없다. 기초 계산력이란 답을 구하는 능력이 아니라 답을 찾아내는 감각의 정도를 말한다. 초등학교 때 같은 100점을 받았다고 해서 그 것을 외우거나 도식적으로 하여 100점을 받은 것이냐, 수감각으 로 100점을 받은 것이냐에 따라 중학교 이후부터 뚜렷한 실력차이를 보이게 된다.
3. 올바른 기초 계산력--기초 계산력은 “필산”에 의한 계산력이어야 한다. 보통 기초 계산력이라 말하는 셈법에는 식을 세워가며 풀이하는 필산법, 주산식 암산, 특수한 방법을 사용하는 속셈, 손가락을 사용하는 지산법등 여러 가지가 있다. 이 가운데 올바른 기초 계산력이라고 할 수 있는 것은 “필산”뿐이다. “필산”은 다른 셈법과 달리 1) 중고에서 배우는 수학과 직접 연결되어 있고 2) 중고 수학에서 배우는 수학 능력을 길러준다 3) 수를 분해하고 조작하는 능력 4) 방정식의 구성을 이해하는 능력을 길러준다. 예로 중학에서의 음양의 정수는 초동학교 사칙 계산의 숫자를 문자로 바꾼 것이다. 따라서 다 른 셈법으로 사칙 연산을 익혔을 경우 중학교 대수식을 이해할 수 있는 능력이 생기지 않는다. 필산에 의해 문제를 풀이하고 식을 세워 가는 과정 그 자체가 중학교에서의 대수식, 방정식 나 아가 고등학교에서의 미적분에 그대로 적용되어 간다는 사실을 중시하고 필산에 의한 기초 계산 력을 길러 나가야 할 것이다. 그러면 필산이란 무엇인가? 광의적인 의미에서 필산은 머리부터 계산하는 두산법과 꼬리부터 계산하는 미산법이 있다. 보 통 두산법은 가로셈, 미산법은 세로셈이라는 형식을 취한다. 그러나 협의로 본다면 필산법은 “미 산법”이라 해야 한다. 왜냐하면 두산법은 암산을 필요로 하고 미산법은 필산 방법을 필요로 하 기 때문에 법칙이나 식을 세우고 풀어내는 방법을 이해하는데는 미산법이 앞서기 때문이다. 결 론적으로 보면, 올바른 필산의 학습은 두 자리 수 계산은 미산법과 두산법을 모두 사용할 줄 알 아야 하고 자리 수가 많은 세 자리수 이상은 미산법으로 처리할 수 있도록 하는 것이 좋다.
4. 필산의 학습 방법 1) 필산의 연습은 답 그 자체를 구하는데 중점을 두기보다는 “구하는 과정”의 반복 숙련에 더 역점을 두어야 한다. 답을 내는 방법만을 암기하고 있다든지 답을 척하니 구할 수 있다든지 하는 것은 필산의 최종 목적이 아니다. 답이 나오는 과정을 여러 문제 형식을 통해 연습하고 숙련하므로써 다음 상급 과정을 이해할 수 있는 능력을 기르는데 필산의 목적이 있다. 답을 알고 있다고 해서 반복 연습을 게을리 하면 답이 구해지는 과정을 충분히 이해하지 못 하게 되고 또 답이 구해지는 과정이 몸에 익숙해지지 않으면 다음 상급 과정의 내용이 쉽사리 이해되지 않는다. 이런 상태가 두 세 단계 계속되면 결손 학습 부분이 많아지게 되고 결국 수 학 학습을 기피하게 되는 결과를 초래하게 되는 것이다. 2) 다른 지식보다도 수학 지식은 남달리 계통적이고 법칙적인 체계를 가지고 있다. 하나의 법칙 과 법칙이 모여 체계를 이루고 있는 것이다. 또 수학에서 이 법칙과 체계는 가장 단순한 형태 로부터 가장 복잡한 형태까지 일정한 계통성을 갖고 나선형적 반복을 하고 있다. 따라서 수학 학습은 가장 쉽고 단순한 지식을 배울 때 여러번 반복 연습하므로서 완전히 숙습해 놓는 일이 중요하다. 어릴 때 배우는 가장 쉽고 단순한 형태속에서 장래 반복해서 되풀이 될 모든 법칙 과 체계를 손쉽게 몸에 익숙해 놓을 수 있기 때문이다. 학년이 높아져서 어려운 형식의 문제 를 통해 법칙과 형식을 이해하려고 하면 우선 성장 심리상 나이가 많아질수록 지적 호기심과 탐구력이 상대적으로 뒤져가는 상태와 문제 형식의 복잡성 때문에 우둔한 일이 된다. 설사 학년이 높아져 있더라도 쉽고 단순한 저학년 내용을 수시로 반복 연습할 필요성이 있는 것이 며 또 저학년일 때 너무 쉽다거나 100점을 받았다고 방심하여 연습을 게을리 하는 실수가 없 도록 해야 할 것이다. 3) 나이가 어릴수록 필산이 중요하다 초등학교 이하의 나이는 발육 단계상 논리적 추상적 사고보다는 감각적 직관적 사고가 중심이 되는 시기이다. 다시 말해 남으로부터 설명을 듣고 이해하기보다는 스스로 몸과 머리를 움직 여 사고하려고 한다. 곧 감각에 의한 지각적 사고를 해낸다. 그래서 아이들은 설명이 많을수록 싫어한다. 설명이란 것은 아이의 느낌과는 관계없이 남의 느낌을 강요하는 일종의 일방성도 있 는 한편 아이의 성장심리와도 배치되는 면이 있어서 교수법상 효율적이지 못하다. 기껏 설명해 놓아야 암기하는 정도이지 왜 그런지는 이해하지도 못하며 스스로 구체적으로 지각하기 전까지 는 이해하려고도 하지 않는다. 아이들은 분석적 사고(구조적 사고)에 아직 익숙하지 못한 성장 단계에 있어서 감각적 사고나 직관적 사고를 즐겨하기 때문이다. 성장 단계가 낮은 아이에게는 수학 학습에 있어서도 이 점을 중시하여 설명을 통해 구조적으로 이해시키려고 하기보다는 먼 저 한 지식 형태의 여러 가지 문제 유형을 반복 연습하므로서 직관적으로 법칙과 체계를 지각 하게 한 다음에야 그 지식의 구조를 구조적으로 설명해 주어 이해하도록 해 주어야 할 것이다. 이런 면에서 현행 수학과의 교과서 편제나 교수법은 상당한 무리를 갖고 있다고 할 것이다. 4) 계속해서 반복 연습하는 “필산”속에서 법칙과 체계는 이해된다. 보통 기초 계산력이라고 하면 기계적인 것, 다양하지 못한 것, 비사고적인 것으로 보거나 수학 을 하기 위한 수단에만 국한시칸다든지 하는 경향이 있다. 기초 계산력이 기본 수단이라는 면은 수학 학습에서 필수적으로 중요성을 갖는다. 그러나 단순히 기초 계산력을 수단이라고만 본다면 필산법이 아닌 다른 셈법도 기초 계산력으로 인정할 수 있게 된다. 필산에 의한 기초 계산력을 중시하는 것은 필산에 의해 문제를 풀고 반복 연습하는 가운데에서만 그 문제의 법칙과 체계가 이해되며 다음 상급 과정에 적용할 수 있는 능력이 생기기 때문이다. 이 것을 역으로 말하면 단 순히 기초 계산력만을 위해서가 아니라 법칙과 체계를 충분히 이해하기 위해서 “필산”연습은 이 루어져야 한다는 것이다. 그러기 위해서는 다음 몇 가지 명제를 중심으로 학습하는 것이 좋다. 1. 같은 문제라도 연습을 많이 하면 할수록 좋다. 2. 쉬운 문제일수록 늦기 전에 반복 연습해두어야 한다. 3. 나이가 어릴수록 연습량을 확보하라. 4. 어려우면 쉬운 것을 다시 연습하라. 5. 한번에 다양하게 하지 말고 같은 문제만을 집중 연습하라. 6. 하다 말고 하지 말고 매일 꾸준히 조금씩 단계 학습한다. 7. 함부로 문제를 풀면 역효과가 난다. 8. 모르는 문제가 있으면 알 때까지 손을 떼지 말라. 5) 수의 구조, 수 법칙의 골격에 대한 감응력을 갖기 위해서는 한 과정에 대한 체계적인 연습이 필요하다. 보통 두 자리 수나 세 자리 수의 계산을 척척 잘해내는 유아를 보면 누구나 수학 박사라 일컫 게 된다. 물론 아이는 한 자리수의 계산도 잘해낼 것이다. 그러나 이 아이가 진실로 수학 박사 라 일컫게 될려면 단순히 몇 자리수의 문제를 풀었다는 것만으로는 부족하다. 그 아이가 수학 박사로 불리는데 손색이 없기 위해서는 한 자리수와 두 자리수의 관계, 또 한 자리 수 문제와 한 자리 수 문제와의 관계, 한 자리수 계산 법칙이 어떻게 두 자리수의 계산 법칙으로 발전 하는가에 대한 감각이 자리 잡혀 있어야만 한다. 다시 말해 한 자리수의 단순한 구조만 알고 있는 것이 아니라 여러 가지 수가 어떤 법칙을 갖고 관계하며 어떻게 발전해 가는가 하는 수의 발전 구조, 곧 수 전체의 구조나 골격을 이해하고 있는가 하는 점이 중요한 것이다. 이에 따른 학습 명제는 다음과 같다. 1. 한번에 다양하게 문제를 푸는 태도보다는 서로 큰 차이가 없고 비슷한 문제만을 모아서 푼다. 2. 푸는 방법을 외워서 적용하려 하지 말고 비슷한 문제라도 가장 쉬운 문제부터 가장 어려 운 문제까지 어떻게 발전해 가는가 하는 점을 찾으려고 하라. 3. 가장 단순한 형태의 문제를 통해서 중점 학습하라. 예를 들어서 중학교 문자 대수식이나 4, 5학년의 분수식 등의 가장 초보적인 골격은 한 자리 수의 구조 속에 들어 있다. 유아 때 배우는 한 자리수의 계산은 그래서 중요하며, 따라서 수의 구조적 이해력이 부족한 고학년 도 한 자리수의 계산을 연습할 필요가 있다. 왜냐 하면 한자리수의 구조를 이해하기가 가 장 쉽기 때문이다. 4. 쉽다고 맹목적으로 답을 쓰면 구조 파악이 어렵게 된다. 집중력을 갖고 학습할 때만이 수의 구조는 파악될 수 있다. 5. 비슷한 문제 유형이라도 이것저것 무질서하게 학습해서는 수의 구조를 파악하기가 어렵다. 한 자리수의 계산이라도 미세한 발전 과정에 따라 체계적으로 학습해야 한다. 6. 수의 발전 구조나 골격을 이해하는데 도움이 되는 교재는 교과서나 일반 참고서보다는 전 문 학습지가 유용하다. 전문 학습지 만이 일정하게 연습에 필요한 문제 수를 확보해 줄 수 있고 게다가 체계적으로 학습할 수 있기 때문이다. 7. 국교 저학년이하의 경우, 수의 구조에 대한 분석적 설명은 곤란하다. 자율적인 문제 풀이 과정을 통해 직관적으로 수의 구조를 파악할 수 있도록 하고 수의 구조에 대해 당장 표현해 낼 수는 없으나 느낄 수 있는 수 감응력을 길러야 한다. 이러한 수 감응력만이 고정적인 수리력보다는 발전적인 수리력을 갖게 해주는 원동력이 된다.
자녀교육-기초계산력의 중요성
□ 기초 계산력의 중요성 □
1. 직관적 사고와 분석적 사고
지금의 수학 교과서는 분석적 사고를 필요로 하는 내용 위주로 구성되어 있다. 어린이들이 수 학을 어려워하는 이유도 거기에 있다. 구체적이고 감각적인 사고 방식에서 논리적이고 지적인 사고 방식으로 점진 이행할 수 있도록 해 주는 것은 중요한 교육적 과제이기는 하지만 그렇다고 수학의 논리적인 내용을 설명을 통하거나 형식적으로 제시하려는 것은 아이의 성장 심리와는 너무나 거리가 멀고 아이의 사고 내용에 어떠한 시사도 주지 못하는데 오늘날의 수학 교과 내용 은 수 형식의 분석적인 설명에 치중하여 아이들로 하여금 출발부터 거부감을 갖게 하고 있다. 어린이들의 성장단계는 감각적 시각에 의한 사고이기 때문에 대략 암중 모색하는 식의 사고를 좋아하는데 아이들에게 분석적 사고가 무리없이 받아들여지기 위해서는 앞서서 우선 대략 암중 모색하여 추측해 낼 수 있는 능력이 있어야 한다. 문제의 근본에 대한 아이들의 감각 정도를 무 시하고 문제의 구조적 형식만을 설명하려는 것은 결국 아이들을 엉뚱한 곳으로 인도하는 결과만 을 초래할 뿐이다.
보통 말을 잘한다고 해서 천재라고 하지는 않는다. 천재란 설사 설명을 잘못하거나 형식 구조 에 대해서는 잘 모르더라도 문제의 근본을 꿰뚫어 느낄 줄 아는 사람을 말한다. 그래서 말 잘하는 바보와 말 못하는 천재는 구별할 일이다. 곧 말을 잘한다는 것은 문제의 형식에 치중해 있는 것이고 꿰뚫어 느낀다는 것은 문제의 근본에 치중해 있다고 할 수 있다. 분석적 사고란 형식을 통해서 문제의 구조를 규명하는 것이지만 문제의 근본을 꿰뚫어 느낄 수 있는 직관적 능력이 전제되지 않는 한 자칫 형식 그 자체만 강조하는 결과를 가져오게 된다.
직관적 사고란 분석적 사고의 전제이지만 다른 한 편으로 최종 목표가 되어야 한다. 복잡한 지 식을 분석할 수 있기 위해서는 우선 단순한 지식들에 대한 직관적인 능력이 충분히 있어야 하고 아울러 분석된 지식은 다시 직관화될 때까지 충분히 숙습이 되어야 한다. 완전히 직관화되어야 만이 그 지식의 근본을 이해했다고 할 수 있으며 완전히 직관화된 지식만이 다음 상위 과정에 적용할 수 있을 것이다.
수학 학습은 따라서 직관-분석-직관의 도식으로 상승 반복해야 하며 그 과정을 통해서 비로소 수리력이 올바로 정착할 수 있는 것이다. 직관력은 문제의 근본을 파헤치는 힘을 주고 아울러 사고의 도약과 창조를 가능하게 해주며 분석적 사고는 거기에 형식을 부여해 주는 것이기 때문 에 수학학습에서도 단계적인 성장심리에 맞는 교육 체계를 존중해야 할 것이다. 직관적인 사고 능력은 형식에 대한 충분한 반복 연습에서만 가능하다. 보통 푸는 방법만 외우고 있는 정도로는 문제의 근본을 이해하고 있다고 할 수가 없다. 푸는 방법(공리)을 알면 거기에 해당하는 수많은 문제를 섭렵해야 그 근본을 찾아갈 수 있게 되고 수많은 문제 풀이 과정에서 근본은 직관화되어 간다. 특히 형식이 크게 강조되지 않는 가장 단순한 형태일수록 직관적 사고력은 배양된다. 그래 서 수가 처음 도입되는 유아 과정이나 저학년 과정의 기초 필산 과정일수록 즉, 쉬운 것일수록 더욱 더 연습해 두는 것이 중요하다. 수학에서 기초 계산력이 중시되는 이유는 문제를 풀기 위 한 수단으로서의 중요성도 있지만 이 기초 계산력이 문제에 대한 직관능력을 좌우하기 때문이 다. 따라서 설명할 줄 알기보다는 연습할 줄 알아야 한다. 연습없이 설명만 할 줄 아는 아이는 학년에 관계없이 지능에 관계없이 중학교 이후부터 반드시 수학실력에 불안을 느끼게 된다. 그 리고 연습은 하면 할수록 수학적 직관력에 크게 보탬이 되므로 쉽고 간단한 문제일수록 많은 연 습량을 확보해 두어야 한다.
2. 계통성
수학 교과의 내용은 계통적으로 발전 형성되어 있다. 곧 저학년 내용은 고학년 내용으로 발전 하는 기반이고 고학년의 내용은 저학년 내용을 기반으로 새로운 형식을 부여하는 식이다.
덧셈의 역연산은 뺄셈이고 덧셈 중에서 동수 누가는 곱셈으로 발전하며 이 세 가지가 복합되어 나눗셈으로 그리고 이 사칙을 기반으로 분수가 형성된다. 분수는 기초 계산력의 최고봉으로 그 위에 고등 수학(방정식 체계)이 건립된 것이다. 그래서 덧셈을 잘못하면 곱셈을 잘못하고 뺄셈을 잘못하면 나눗셈을 잘못하게 되고 또 사칙이 잘 안되면 분수가 잘 안되고 분수가 빨리 처리되지 않으면 중학 수학이 난감해진다. 중학생들의 수학 실력이 저조한 것은 문제가 어려워서라기 보 다 확대되는 학문 영역을 기초 계산력이 약함으로써 충분히 소화해 내지 못하여 학습 결손이 누 적되어 있기 때문이다. 수학은 그 계통성을 중시하는 학습일 때만이 손쉽게 이해되는 학문이다. 수학의 쉽고 어려움은 백지 한 장 차이와 같은 것이며 그 것은 수의 계통성을 중시하느냐의 여 부에 달려 있다.
이상에서와 같이 수학적 직관력과 수학 고유의 계통성은 기초 계산력의 중요성을 강조하고 있 다. 기초 계산력이 기계적이라고 그 것을 등한시하는 우둔함을 저질러서는 안 된다. 계산을 끊임 없이 반복할수록 사고의 구조성과 수학 고유의 계통성으로 인하여 수학을 잘해낼 수밖에 없다. 기초 계산력이란 답을 구하는 능력이 아니라 답을 찾아내는 감각의 정도를 말한다. 초등학교 때 같은 100점을 받았다고 해서 그 것을 외우거나 도식적으로 하여 100점을 받은 것이냐, 수감각으 로 100점을 받은 것이냐에 따라 중학교 이후부터 뚜렷한 실력차이를 보이게 된다.
3. 올바른 기초 계산력--기초 계산력은 “필산”에 의한 계산력이어야 한다.
보통 기초 계산력이라 말하는 셈법에는 식을 세워가며 풀이하는 필산법, 주산식 암산, 특수한 방법을 사용하는 속셈, 손가락을 사용하는 지산법등 여러 가지가 있다. 이 가운데 올바른 기초 계산력이라고 할 수 있는 것은 “필산”뿐이다. “필산”은 다른 셈법과 달리
1) 중고에서 배우는 수학과 직접 연결되어 있고
2) 중고 수학에서 배우는 수학 능력을 길러준다
3) 수를 분해하고 조작하는 능력
4) 방정식의 구성을 이해하는 능력을 길러준다.
예로 중학에서의 음양의 정수는 초동학교 사칙 계산의 숫자를 문자로 바꾼 것이다. 따라서 다 른 셈법으로 사칙 연산을 익혔을 경우 중학교 대수식을 이해할 수 있는 능력이 생기지 않는다. 필산에 의해 문제를 풀이하고 식을 세워 가는 과정 그 자체가 중학교에서의 대수식, 방정식 나 아가 고등학교에서의 미적분에 그대로 적용되어 간다는 사실을 중시하고 필산에 의한 기초 계산 력을 길러 나가야 할 것이다.
그러면 필산이란 무엇인가?
광의적인 의미에서 필산은 머리부터 계산하는 두산법과 꼬리부터 계산하는 미산법이 있다. 보 통 두산법은 가로셈, 미산법은 세로셈이라는 형식을 취한다. 그러나 협의로 본다면 필산법은 “미 산법”이라 해야 한다. 왜냐하면 두산법은 암산을 필요로 하고 미산법은 필산 방법을 필요로 하 기 때문에 법칙이나 식을 세우고 풀어내는 방법을 이해하는데는 미산법이 앞서기 때문이다. 결 론적으로 보면, 올바른 필산의 학습은 두 자리 수 계산은 미산법과 두산법을 모두 사용할 줄 알 아야 하고 자리 수가 많은 세 자리수 이상은 미산법으로 처리할 수 있도록 하는 것이 좋다.
4. 필산의 학습 방법
1) 필산의 연습은 답 그 자체를 구하는데 중점을 두기보다는 “구하는 과정”의 반복 숙련에 더 역점을 두어야 한다. 답을 내는 방법만을 암기하고 있다든지 답을 척하니 구할 수 있다든지 하는 것은 필산의 최종 목적이 아니다. 답이 나오는 과정을 여러 문제 형식을 통해 연습하고 숙련하므로써 다음 상급 과정을 이해할 수 있는 능력을 기르는데 필산의 목적이 있다.
답을 알고 있다고 해서 반복 연습을 게을리 하면 답이 구해지는 과정을 충분히 이해하지 못 하게 되고 또 답이 구해지는 과정이 몸에 익숙해지지 않으면 다음 상급 과정의 내용이 쉽사리 이해되지 않는다. 이런 상태가 두 세 단계 계속되면 결손 학습 부분이 많아지게 되고 결국 수 학 학습을 기피하게 되는 결과를 초래하게 되는 것이다.
2) 다른 지식보다도 수학 지식은 남달리 계통적이고 법칙적인 체계를 가지고 있다. 하나의 법칙 과 법칙이 모여 체계를 이루고 있는 것이다. 또 수학에서 이 법칙과 체계는 가장 단순한 형태 로부터 가장 복잡한 형태까지 일정한 계통성을 갖고 나선형적 반복을 하고 있다. 따라서 수학 학습은 가장 쉽고 단순한 지식을 배울 때 여러번 반복 연습하므로서 완전히 숙습해 놓는 일이 중요하다. 어릴 때 배우는 가장 쉽고 단순한 형태속에서 장래 반복해서 되풀이 될 모든 법칙 과 체계를 손쉽게 몸에 익숙해 놓을 수 있기 때문이다. 학년이 높아져서 어려운 형식의 문제 를 통해 법칙과 형식을 이해하려고 하면 우선 성장 심리상 나이가 많아질수록 지적 호기심과 탐구력이 상대적으로 뒤져가는 상태와 문제 형식의 복잡성 때문에 우둔한 일이 된다. 설사 학년이 높아져 있더라도 쉽고 단순한 저학년 내용을 수시로 반복 연습할 필요성이 있는 것이 며 또 저학년일 때 너무 쉽다거나 100점을 받았다고 방심하여 연습을 게을리 하는 실수가 없 도록 해야 할 것이다.
3) 나이가 어릴수록 필산이 중요하다
초등학교 이하의 나이는 발육 단계상 논리적 추상적 사고보다는 감각적 직관적 사고가 중심이 되는 시기이다. 다시 말해 남으로부터 설명을 듣고 이해하기보다는 스스로 몸과 머리를 움직 여 사고하려고 한다. 곧 감각에 의한 지각적 사고를 해낸다. 그래서 아이들은 설명이 많을수록 싫어한다. 설명이란 것은 아이의 느낌과는 관계없이 남의 느낌을 강요하는 일종의 일방성도 있 는 한편 아이의 성장심리와도 배치되는 면이 있어서 교수법상 효율적이지 못하다. 기껏 설명해 놓아야 암기하는 정도이지 왜 그런지는 이해하지도 못하며 스스로 구체적으로 지각하기 전까지 는 이해하려고도 하지 않는다. 아이들은 분석적 사고(구조적 사고)에 아직 익숙하지 못한 성장 단계에 있어서 감각적 사고나 직관적 사고를 즐겨하기 때문이다. 성장 단계가 낮은 아이에게는 수학 학습에 있어서도 이 점을 중시하여 설명을 통해 구조적으로 이해시키려고 하기보다는 먼 저 한 지식 형태의 여러 가지 문제 유형을 반복 연습하므로서 직관적으로 법칙과 체계를 지각 하게 한 다음에야 그 지식의 구조를 구조적으로 설명해 주어 이해하도록 해 주어야 할 것이다. 이런 면에서 현행 수학과의 교과서 편제나 교수법은 상당한 무리를 갖고 있다고 할 것이다.
4) 계속해서 반복 연습하는 “필산”속에서 법칙과 체계는 이해된다.
보통 기초 계산력이라고 하면 기계적인 것, 다양하지 못한 것, 비사고적인 것으로 보거나 수학 을 하기 위한 수단에만 국한시칸다든지 하는 경향이 있다. 기초 계산력이 기본 수단이라는 면은 수학 학습에서 필수적으로 중요성을 갖는다. 그러나 단순히 기초 계산력을 수단이라고만 본다면 필산법이 아닌 다른 셈법도 기초 계산력으로 인정할 수 있게 된다. 필산에 의한 기초 계산력을 중시하는 것은 필산에 의해 문제를 풀고 반복 연습하는 가운데에서만 그 문제의 법칙과 체계가 이해되며 다음 상급 과정에 적용할 수 있는 능력이 생기기 때문이다. 이 것을 역으로 말하면 단 순히 기초 계산력만을 위해서가 아니라 법칙과 체계를 충분히 이해하기 위해서 “필산”연습은 이 루어져야 한다는 것이다. 그러기 위해서는 다음 몇 가지 명제를 중심으로 학습하는 것이 좋다.
1. 같은 문제라도 연습을 많이 하면 할수록 좋다.
2. 쉬운 문제일수록 늦기 전에 반복 연습해두어야 한다.
3. 나이가 어릴수록 연습량을 확보하라.
4. 어려우면 쉬운 것을 다시 연습하라.
5. 한번에 다양하게 하지 말고 같은 문제만을 집중 연습하라.
6. 하다 말고 하지 말고 매일 꾸준히 조금씩 단계 학습한다.
7. 함부로 문제를 풀면 역효과가 난다.
8. 모르는 문제가 있으면 알 때까지 손을 떼지 말라.
5) 수의 구조, 수 법칙의 골격에 대한 감응력을 갖기 위해서는 한 과정에 대한 체계적인 연습이 필요하다.
보통 두 자리 수나 세 자리 수의 계산을 척척 잘해내는 유아를 보면 누구나 수학 박사라 일컫 게 된다. 물론 아이는 한 자리수의 계산도 잘해낼 것이다. 그러나 이 아이가 진실로 수학 박사 라 일컫게 될려면 단순히 몇 자리수의 문제를 풀었다는 것만으로는 부족하다. 그 아이가 수학 박사로 불리는데 손색이 없기 위해서는 한 자리수와 두 자리수의 관계, 또 한 자리 수 문제와 한 자리 수 문제와의 관계, 한 자리수 계산 법칙이 어떻게 두 자리수의 계산 법칙으로 발전 하는가에 대한 감각이 자리 잡혀 있어야만 한다. 다시 말해 한 자리수의 단순한 구조만 알고 있는 것이 아니라 여러 가지 수가 어떤 법칙을 갖고 관계하며 어떻게 발전해 가는가 하는 수의 발전 구조, 곧 수 전체의 구조나 골격을 이해하고 있는가 하는 점이 중요한 것이다. 이에 따른 학습 명제는 다음과 같다.
1. 한번에 다양하게 문제를 푸는 태도보다는 서로 큰 차이가 없고 비슷한 문제만을 모아서 푼다.
2. 푸는 방법을 외워서 적용하려 하지 말고 비슷한 문제라도 가장 쉬운 문제부터 가장 어려 운 문제까지 어떻게 발전해 가는가 하는 점을 찾으려고 하라.
3. 가장 단순한 형태의 문제를 통해서 중점 학습하라. 예를 들어서 중학교 문자 대수식이나 4, 5학년의 분수식 등의 가장 초보적인 골격은 한 자리 수의 구조 속에 들어 있다. 유아 때 배우는 한 자리수의 계산은 그래서 중요하며, 따라서 수의 구조적 이해력이 부족한 고학년 도 한 자리수의 계산을 연습할 필요가 있다. 왜냐 하면 한자리수의 구조를 이해하기가 가 장 쉽기 때문이다.
4. 쉽다고 맹목적으로 답을 쓰면 구조 파악이 어렵게 된다. 집중력을 갖고 학습할 때만이 수의 구조는 파악될 수 있다.
5. 비슷한 문제 유형이라도 이것저것 무질서하게 학습해서는 수의 구조를 파악하기가 어렵다. 한 자리수의 계산이라도 미세한 발전 과정에 따라 체계적으로 학습해야 한다.
6. 수의 발전 구조나 골격을 이해하는데 도움이 되는 교재는 교과서나 일반 참고서보다는 전 문 학습지가 유용하다. 전문 학습지 만이 일정하게 연습에 필요한 문제 수를 확보해 줄 수 있고 게다가 체계적으로 학습할 수 있기 때문이다.
7. 국교 저학년이하의 경우, 수의 구조에 대한 분석적 설명은 곤란하다. 자율적인 문제 풀이 과정을 통해 직관적으로 수의 구조를 파악할 수 있도록 하고 수의 구조에 대해 당장 표현해 낼 수는 없으나 느낄 수 있는 수 감응력을 길러야 한다. 이러한 수 감응력만이 고정적인 수리력보다는 발전적인 수리력을 갖게 해주는 원동력이 된다.