이제 설명을 드리겠습니다. 저는 LOTTO를 안해서 모르지만, 6자리에 각 자리가 45까지 있나요? 아무튼 그렇다고 하면 모든 나올 수 있는 경우의 수는 45^6이 됩니다. 만약 각 자리의 값이 같은 것이 나올 수 없다는 규칙이 있다면 이 수는 달라지겠지만, 이 값은 앞으로 상수로 쓰일테니 문제는 없구요, 그 경우의 수를 k라고 하고 설명드리겠습니다.
A의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
(확률) = 1 - (100주동안 복권에 당첨되지 않을 확률)
= 1 - (1주동안 복권에 당첨되지 않을 확률) ^ 100
= 1 - [(복권의 번호 가지 수 - 1) / (복권의 번호 가지 수)] ^ 100
= 1 - [(k - 1) / k] ^ 100
B의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
A의 경우와 동일합니다. 왜냐하면 가정 2에 의하여 한 주의 당첨 확률은 다른 주의 당첨 확률에 영향을 미치지 않기 때문입니다.
C의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
(확률) = 1 - (구입한 1번째 복권이 당첨되지 않을 확률) × (구입한 2번째 복권이 당첨되지 않을 확률) × .... × (구입한 100번째 복권이 당첨되지 않을 확률)
여기서 대괄호 안의 식이 저렇게 되어 있는 이유를 말로 설명하면 다음과 같습니다 ; 첫 번째 산 복권이 당첨되지 않을 확률은 그 복권에 기입한 번호가 전체 복권의 번호 중에서 당첨 번호를 제외한 번호가 되는 것입니다. 다음으로 두 번째 산 복권이 당첨되지 않을 경우는 - 첫 번째 복권과는 번호가 다르므로 - 전체 복권 번호중에서 당첨 번호와 첫 번째 산 복권의 번호를 제외한 번호가 되는 것입니다. 그래서 분모는 k-1, 분자는 k-2입니다. 이런 식으로 생각해보면 100번째 구입한 복권까지 모두 당첨되지 않으려면 그 복권은 앞의 99개의 복권가 번호가 다르며 또한 당첨된 번호와도 달라야 하므로 (k-100)/(k-99)가 됩니다.
이 공식이 의미가 있음을 예를 들어 설명하겠습니다. 만약 100개의 복권을 구입했는데 공교롭게도 복권을 구입한 사람이 나밖에 없다고 합시다. 그리고 1~99번째 복권이 모두 당첨되지 않았다고 합시다. 또한 복권 번호의 총 가지수가 100이라고 합시다. 그러면 마지막 (k-100)/(k-99)의 항에 의하여 복권에 당첨되지 않을 확률은 0이 되며 100% 복권에 당첨되게 됩니다. 만약 일주일에 하나씩 100주동안 구매했다면, 매주 구매자가 100명이고 복권 번호의 총 가지수 k = 100이라 하더라도 당첨될 확률은 100% 미만이 됩니다. 이것은 극단적인 예를 든 것이고, 잘 생각해보면 일반적인 경우에 위 공식이 들어맞음을 알 수 있습니다.
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상황을 수학적으로 이상화하기 위하여 먼저 몇 가지 가정이 필요합니다.
가정 1. 매주 복권이 팔리는 총 수는 동일하다.
가정 2. 매주 1에게 수여되는 금액은 동일하다.
가정 3. 매주 당첨 번호는 다른 주의 당첨 번호에 독립적이다.
가정 4. 매주 복권 판매 수는 100을 초과한다. (일반성을 위한 가정)
결론부터 말씀드리자면 A, B의 확률은 동일하며 C는 아주 조금 유리합니다.
이제 설명을 드리겠습니다. 저는 LOTTO를 안해서 모르지만, 6자리에 각 자리가 45까지 있나요? 아무튼 그렇다고 하면 모든 나올 수 있는 경우의 수는 45^6이 됩니다. 만약 각 자리의 값이 같은 것이 나올 수 없다는 규칙이 있다면 이 수는 달라지겠지만, 이 값은 앞으로 상수로 쓰일테니 문제는 없구요, 그 경우의 수를 k라고 하고 설명드리겠습니다.
A의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
(확률) = 1 - (100주동안 복권에 당첨되지 않을 확률)
= 1 - (1주동안 복권에 당첨되지 않을 확률) ^ 100
= 1 - [(복권의 번호 가지 수 - 1) / (복권의 번호 가지 수)] ^ 100
= 1 - [(k - 1) / k] ^ 100
B의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
A의 경우와 동일합니다. 왜냐하면 가정 2에 의하여 한 주의 당첨 확률은 다른 주의 당첨 확률에 영향을 미치지 않기 때문입니다.
C의 경우 1등 당첨 확률의 계산.
(확률) = 1 - (구입한 1번째 복권이 당첨되지 않을 확률) × (구입한 2번째 복권이 당첨되지 않을 확률) × .... × (구입한 100번째 복권이 당첨되지 않을 확률)
= 1 - [(k-1) / k] × [(k-2) / (k-1)] × ... × [(k-100) / (k-99)]
= 1 - [(k-100) / k].
여기서 대괄호 안의 식이 저렇게 되어 있는 이유를 말로 설명하면 다음과 같습니다 ; 첫 번째 산 복권이 당첨되지 않을 확률은 그 복권에 기입한 번호가 전체 복권의 번호 중에서 당첨 번호를 제외한 번호가 되는 것입니다. 다음으로 두 번째 산 복권이 당첨되지 않을 경우는 - 첫 번째 복권과는 번호가 다르므로 - 전체 복권 번호중에서 당첨 번호와 첫 번째 산 복권의 번호를 제외한 번호가 되는 것입니다. 그래서 분모는 k-1, 분자는 k-2입니다. 이런 식으로 생각해보면 100번째 구입한 복권까지 모두 당첨되지 않으려면 그 복권은 앞의 99개의 복권가 번호가 다르며 또한 당첨된 번호와도 달라야 하므로 (k-100)/(k-99)가 됩니다.
이 공식이 의미가 있음을 예를 들어 설명하겠습니다. 만약 100개의 복권을 구입했는데 공교롭게도 복권을 구입한 사람이 나밖에 없다고 합시다. 그리고 1~99번째 복권이 모두 당첨되지 않았다고 합시다. 또한 복권 번호의 총 가지수가 100이라고 합시다. 그러면 마지막 (k-100)/(k-99)의 항에 의하여 복권에 당첨되지 않을 확률은 0이 되며 100% 복권에 당첨되게 됩니다. 만약 일주일에 하나씩 100주동안 구매했다면, 매주 구매자가 100명이고 복권 번호의 총 가지수 k = 100이라 하더라도 당첨될 확률은 100% 미만이 됩니다. 이것은 극단적인 예를 든 것이고, 잘 생각해보면 일반적인 경우에 위 공식이 들어맞음을 알 수 있습니다.
한장 살거 두장 사셈