수학을 어려워하고 수학점수가 나빠서 고민하는 학생들이 많습니다. 그러면서 나는 왜 이렇게 못하는 걸까? 열심히 공부했는데 점수가 왜 이 모양일까? 등 여러 가지 고민들을 다들 한번쯤은 해 보았을 거예요. 그럼 수학은 왜 어렵고, 왜 점수가 잘 안 나오는 것일까요? 원인을 다양하게 들지요. 어떤 교육학자가 수학을 잘하는 학생의 집단과 못하는 학생의 집단을 비교하여 과연 수학을 잘하고 못하는 이유가 무엇일까 조사를 해 보았어요. 그랬더니 IQ도 차이가 없고, 집안환경도 차이가 없었지요. 그런데 차이가 나는 것이 있었는데 그 것이 무엇이냐 하면 ‘공부하는 방법’이었다는 거지요. 다시 말해서 수학을 못하는 학생들은 공부하는 방법이 잘못 되어 있거나 공부하는 방법이 전혀 없다는 거예요. 하지만 수학을 잘하는 학생들은 올바른 방법 또는 자기 나름대로의 방법이 있다는 거예요. 그렇습니다. 결국 수학을 잘 할 수 있느냐 없느냐 하는 것은 결국 누가 올바른 공부방법으로 공부를 하느냐에 달려있는 것이지요. 그렇다면 올바른 공부방법이란 무엇일까요. 첫 번째로 과목의 특성에 맞는 공부방법 이어야 되지요. 즉 수학을 ‘수학답게’ 공부해야 되겠지요. 만약에 수학을 영어나 언어처럼 공부한다면 수학 실력이 향상 될 수가 없겠지요. 두 번째로는 자기의 실력 또는 자기의 현재 단계에 맞게 공부해야 되겠지요. 만약에 기초가 부족하다면 기초부터 다지고 나서 응용문제를 풀어야 할 것이고, 앞 단원의 학습이 어느 정도 되고 난 후에 다음 단원을 학습하는 것이 맞는 것이지요. 세 번째로는 조금 더 효율적이어야 한다는 것이지요. 물론 공부라는 것이 효율적인 것을 생각하기 이전에 먼저 꾸준한 노력을 해야 한다는 것은 가장 기본적인 원칙이지요. 그러한 원칙 아래서 효율성을 따질 수 있지요. 하지만 너무나 시간은 많이 투자하면서도 효과를 보지 못하는 학생들이 많아요. 예를 들어서 맨 날 까먹는 공식은 특별대책을 세워서 관리를 해 주어야 하는데도 그 때 그 때 자기가 까먹었다는 한탄만 하고 있지요. 그러면 이러한 기준에 맞는 올바른 학습방법이란 어떤 것인지를 같이 생각해 보도록 하지요. 많은 공식을 외울수록 수학을 잘한다? 수학하면 생각나는 것이 공식 이지요. 정말로 많은 공식 그리고 지겨운 공식 아마도 공식을 외우는 것이 지겹다는 것을 처음 느낀 것이 아마도 초등학교 때 구구단을 외울 때일 거예요. 구구단은 공식이 많고 또 못 외우면 바로 선생님의 벌칙이 기다리고 있고 더구나 친구들의 놀림까지 감수해야 되지요. 물론 수학 공식은 참 많아요. 그 많은 것을 외운다는 것은 쉬운 일이 아니지요. 그런데 주요한 것은 학생들이 공식을 너무나 많이 외운다는 거예요. 그런데 수학은 단순한 몇 개의 개념만 가지고 수 없이 많은 문제를 풀 수 있지요. 어떤 면에서 수학의 매력은 수많은 다양한 문제를 단순한 몇 개의 개념만 가지고 풀 수 있다는 점이지요. 예를 들어서 ‘이차방정식’을 중, 고등학교 때 배우지요. 이차방정식에 대한 문제는 무수히 많아요. 그런데 이차방정식 문제를 풀 때 사양되는 원리는 ‘근의 공식’, ‘판별식’, ‘근과 계수의 관계’ 이 세 가지가 다예요.(물론 판별식과 근과 계수관계도 사실은 근의 공식에서부터 만들어진 것이지만) 즉, 그 많은 문제들이 이 세 가지 개념이면 다 풀린다는 거예요. 이차방정식만 그런 것이 아니고 모든 단원이 다 마찬가지예요. 그런데 학생들은 수학을 조립식처럼 공부를 하지요. 그러니까 교과서에 있는 공식은 기본 공식이고, 또 다른 여러 가지 공식을 외워야 되고, 거기다가 문제를 푸는 해법도 기억해야하고 더욱 기가 막힌 것은 문제를 빨리 푸는 비법까지 기억해야 한다고 생각하고 있지요. 그래서 문제마다 다 달라 보이고, 한 단원을 공부하고 나면 왜 그렇게 외울 것이 많은지……. 그리고 한 단원을 공부하고 나서도 어떤 것이 핵심이고 어떤 것이 중요한 개념인지 전혀 정리가 안 돼요. 그렇게 수학을 공부한다는 것은 정말로 안타까운 일이지요. 한 단원을 공부하고 나서는 그 단원의 기본적인 개념은 몇 개인지 정리가 되고, 또 문제를 푸는 과정에서 그 것들을 적용하면서 어떻게 그 기본 개념들이 적용되는지 익히면서 그 개념들은 자연스럽게 외워지게 되는 거지요. 그러다 보면 응용문제에 대한 적응도 되는 것이지요. 여기서 잠깐 한 가지 얘기하고 싶은 것이 있는데 ‘기본’이라는 용어의 뜻을 정확히 해 둘 필요가 있을 것 같군요. 수학에서 ‘기본’이라는 용어의 의미를 ‘쉬운’이라는 의미로 이해하는 학생들이 있어요. 하지만 그것은 잘못된 거지요. ‘기본’이라는 것은 그런 의미라기 보다는 ‘기본’이라는 것은 그 내용을 구성하는 기본 요소라는 의미예요. 국어사전에 보면 ‘기본’이라는 것은 ‘사물의 가장 중요한 밑바탕’이라고 나와 있어요. 그런데 학생들은 ‘기본’이라는 말을 쉽다는 것으로 잘못 이해하고 가볍게 보고 넘어가 버리는 경향이 있지요. 그래서 수학은 학생들이 생각하는 것 보다 훨씬 적은 몇 개의 기본 개념으로 구성되어 있고 그 개념을 적용해가면서 문제를 연습하면서 그 개념을 익힐 수 있는 것이지요. 그러한 생각을 갖고 수학공부를 해보면 훨씬 적은 시간으로 많은 효과를 얻을 수 있는 거지요. 앞에서도 얘기했듯이 ‘수학은 수학답게 공부’ 해야 되지요. 수학문제는 유형별로 공부하고, 많은 유형을 익히면 점수가 오른다? 학생들이 수학하면 떠오르는 용어 중에 하나가 ‘유형’일 거예요. 즉 수학문제는 몇 개의 유형으로 되어 있어서 그 몇 개의 유형의 풀이법만 익히면 수학은 완성되는 것이라고 생각하는 학생들이 있지요. 이처럼 수학문제는 유형이 있습니다. 가장 기본적인 유형이지요. 예를 들어 방정식문제냐 항등식문제냐 이 두 가지는 구분되어야 할 유형이지요. 하지만 이 정도 이상의 더 세부적인 유형은 구분 할 필요가 없어요. 수학문제를 풀려면 필요한 것이 두 가지예요. 하나는 ‘기본적인 개념’ 그리고 또 하나는 ‘문제해결능력’ 달리 표현 하다면 ‘문제분석 방법’이라고 얘기 할 수도 있지요. 수학문제는 문제마다의 풀이법을 익혀야지만 그 문제를 풀 수 있는 것이 아닙니다. 만약 문제마다의 풀이법을 모두 익혀야 한다면 모든 사람들은 수학을 이미 포기했을 거예요. 그래서 그런 번거로움을 덜어보려고 문제를 자꾸 유형화시키게 되는 거지요. 하지만 수학문제는 그 문제와 연관된 기본 개념을 알고 있고 그 문제만 정확히 분석해 내면 처음 보는 문제라도 풀 수 있는 거예요. ‘수학문제의 풀이는 문제 안에 있다.’고 얘기를 하는데 문제 분석방법을 살펴봅시다. 문제 분석방법은 수학자들마다 여러 가지 방법을 제시하고 있는데 그 방법들의 공통점과 중ㆍ고교 시험문제의 수준을 고려하여 간단히 정리해보기로 하지요. 그리고 이 방법은 학생들이 이해하기 편하고 외우기 좋게 쉬운 표현을 이용했어요. 앞으로 문제를 풀 때 또는 문제를 풀다가 막혔을 때 다음과 같은 네 가지 질문을 스스로에게 던져 보세요. 1)구하는 것이 뭐지? 2)주어진 것이 뭐지? 3)이 걸 (주어진 걸) 어떻게 이용하지? 4) (이 문제와 연관되어서)배운 것이 뭐가 있지? 이 네 가지 질문을 스스로 던지면서 그 질문에 차근차근 대답하다 보면 풀이를 찾아낼 수 있을 거예요. 이 것에 익숙해지려면 앞으로 문제를 풀 때 적용해보세요. 그러면 자연스럽게 익힐 수 있을 거예요. 문제를 많이 풀수록 점수가 오른다? 수학점수를 올리기 위해서는 많은 문제를 풀어야 하는 것은 당연한 것이지요. 하지만 학생들은 지나치게 비효율적으로 문제를 풀어서 푼만큼의 효과가 없어요. 예를 들어서 자기가 풀었던 문제인데 다음에 안 풀리는 경우가 있지요. 심지어는 문제는 기억나는데 안 풀리는 경우도 있어요. 그렇게 되는 이유는 문제풀이 과정에 문제가 있기 때문 이예요. 가장 중요한 것은 문제를 풀고 나서 그 문제의 뒤처리가 잘못된 거지요. 보통 문제를 풀고 나서는 그냥 풀이를 보고 “아! 이렇게 푸는 거구나!”하고 지나가 버리거든요. 그것은 잘못 된 거예요. 문제를 풀고 난 후에는 반드시 다음과 같은 질문을 스스로에게 던져 보세요. “이 문제를 못 푼 이유가 뭐지?” “이 문제를 통해서 알아둘 것은 뭐지?” 이렇게 반성을 하면서 문제풀이를 마무리한다면 그 문제를 확실히 자기 것으로 만들 수 있는 거지요. 그리고 또 중요한 것은 그 틀린 이유를 그냥 알고 지나가기보다는 그 것을 메모해 두어야 되요. 이를테면 ‘공식노트’, ‘오답노트’를 만들어서 메모해 두어서 그 메모를 반복해서 보면서 자기의 약점을 보완해야 되요. 이러한 과정으로 문제풀이를 마무리하면 무조건 많은 문제를 풀지 않아도 수학을 정복할 수 있어요.