Klein four group - Finite simple group(of order two)

The path of love is never smooth
But mine's continuous for you
You're the upper bound in the chains of my heart
You're my Axiom of Choice, you know it's true

사랑의 길은 결코 순탄하진 않지(미분 불가능!? 일계도함수 없음?!)

하지만 내 사랑은 항상 널 위한 거야(내 사랑은 당신에게 연속!?)

너는 내 사랑의 사슬 속에서 최고에 있어(Chain은 수열인데..)
너는 나의 운명적 선택, 이건 사실이야

(당신은 내 선택에 대한 공리!? 게다가 참이야 ㅋㅋ)

But lately our relation's not so well-defined
And I just can't function without you
I'll prove my proposition and I'm sure you'll find
We're a finite simple group of order two

하지만 최근 우리 사이는 잘 모르겠어(잘 정의되지 않아)
또 나는 너 없이는 살 수 없어(기능할-_-수 없어;)
나는 사랑을 고백할거야(정리를 증명?!) 그럼 난 확신해

네가 우리 둘은 하나란 걸 알게 될거라고
(원소가 둘뿐인 유한 단순군!@?!@#)

*group (conventionally, G):

operation과 element로 이루어진, 일정한 조건들을 만족시키는 set.
*normal subgroup (N):

g n g^-1이 (g in G, n in N) 여전히 N에 속하는 G의 subgroup.
*simple group:

normal subgroup이 identity랑 그 그룹 자체뿐인 그룹.
*order: element의 수.

I'm losing my identity
I'm getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

나는 내 자신을 잃고 있어

(Identity는 군론에서 덧셈의 0과 같은 원소라네요)
나는 매일 더 긴장하고 불안해져

(Tensor는,, 벡터 상위개념!?@ 의학용어로는 근육통관련)
그리고 아마 다들 비슷하니까 (일반성을 잃지 않은채로..)
난 너도 나랑 같을 거라고 생각해

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we're one-to-one you'll see what I'm about
'Cause we're a finite simple group of order two

매번 내가 너를 보기 때문에, 너는 단지 나누어져(quotient)
내가 단사(map)해 들어가는 정확한 이미지(치역)로
하지만 우리가 일대일 (함수)일 때

너는 나의 대한 것을 보게 될꺼야
우리는 차수 2짜리 유한 단순 군이니까

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

한때 우리의 동치(관계, 일치?)는 안정적이었지,
깊은 곳에 있는 중요한(principal) 사랑 뭉치
하지만 그후 우리의 2형식(two form)에 웨지 (곱)을 했지
이제 모든 것이 너무 복잡해졌어(복소수화 되었다고!?)

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

우리가 처음 만났을 때, 우리는 단순히 연결 (집합)되었지
내 마음은 열렸지만(열린 집합) 너무 극단적(조밀)이었어
우리의 계(system)은 이미 조종됐어(direct product?)
유한 극한을 갖기 위해, 어떤 느낌으로

(어떤 의미에서는 유한한 값에 수렴하게 되었지)

I'm living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
'Cause all I see are zeroes, it's a cruel trap
But we're a finite simple group of order two

나는 계수(rank) 1짜리 사상(map)의 중심(kernel)에 살고 있어
내 영역(domain)으로부터, 그 이미지(치역)는 너무 우울해보여,
내가 보는 것들이 모두 0이기때문에, 이건 잔혹한 함정이야
그러나 우리는 차수 2짜리 유한 단순 군이야

(kenel은 보통 대수적 구조를 보존하는 함수에 의해서

치역의 항등원으로 보내지는 정의역의 부분집합을 말함.

kenel의 모든 원소는 0으로 보내지기 때문에

잔혹한 함정이라고 하는것...............)

I'm not the smoothest operator in my class,
But we're a mirror pair, me and you,
So let's apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, a finite simple group,
Let's be a finite simple group of order two
(Oughter: "Why not three?")

나는 우리 반(class)에서 가장 부드러운(미분 가능한)

연산자(operator)는 아냐
하지만 우리는 거울쌍이야, 나와 너,
그러니 과거에다가 잘 잊어버리는 함수(라기보단 기능자!?)

(functor;map between categories)를 적용하자
그래서 유한 단순 군이 되자, 유한 단순 군,
차수 2짜리 유한 단순 군이 되자
(왜 (차수) 3은 안돼?)
(ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ아 여기서 빵터짐)

I've proved my proposition now, as you can see,
So let's both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.

나는 이제 내 명제를 증명했어, 네가 보다시피,
그러니 우리 연합하고(결합 법칙) 자유로워지자
그리고 따름 정리에 의해서, 이는 너와 내가
순전히 분리할 수 없음(inseparable)을 증명해.
증명 끝(QED)

((의역한거))

▷ 우리는 하나 ◁

사랑의 항로는 결코 평탄하지 않지만 당신을 향한 내 사랑은 영원합니다.
당신은 내 마음을 사로잡는 상계(上界·upper bound·전부라는 의미)입니다.
당신은 나의 선택공리(axiom of choice·운명적인 존재라는 의미)라고요.
잘 아시잖아요.

하지만 요즘 우리 관계가 조금 삐걱거리네요.
전 당신이 없으면 아무 일도 할 수 없답니다.
내 사랑을 증명해 보일거예요.
우리가 둘로 이뤄진 하나라는 사실을 당신도 알게될 겁니다.

제 정체성을 잃고 있어요.
매일 긴장하고 있다고요.
아마 당신도 비슷하게 느끼리라 생각해요.

당신을 처음 보았을 때, 당신은 엄청났죠.
내가 이사간 곳에서 당신은 믿음직한 존재였습니다.
하지만 우리가 맞닥뜨렸을 때 당신은 내 존재를 알았죠.
왜냐하면 우리는 둘로 이뤄진 하나이기 때문입니다.

우리의 동질성은 영원했고, 우리 마음속 깊숙한 곳에 최고의 사랑이 있습니다.
하지만 당신이 우리 둘 사이를 멀어지게 하는군요.
이젠 모든 것이 너무 복잡해졌어요.

우리 처음 만났을 때, 우린 통했죠.
비록 내 마음은 복잡했지만 활짝 열려 있었습니다.
우리 관계는 이미 운명이었다고요.
어떤 의미에서는 한계가 있었지만요.

저는 최상위 층에 살고 있답니다.
여기 살아보니, 우울해 보이네요.
왜냐하면 보이는 게 아무것도 없거든요.
너무 끔찍한 덫이죠.
하지만 우리는 둘로 이뤄진 하나랍니다.

우리 학급에서 제가 가장 부드러운 사람은 아니예요.
하지만 당신과 나, 우리는 서로 거울같은 한 쌍입니다.
자, 과거를 해결하고 하나가 되자구요.
둘이 모여 하나가 되자고요.
(셋은 왜 안돼? (일동 웃음))

이제 아셨겠지만 전 제 사랑을 보였어요.
자 이제 함께 하나가 됩시다. 자유로와지자고요.
당신과 내가 더이상 떨어지지 않는 하나라는 걸 보여주자고요.