일인시위 중 2 가지 간명한 FLT증명 해설

X^n+Y^n=Z^n

Y+A=X+B=Z

상기 식에서 (X,Y,Z) 와 (A,B) 는 양의 실수로 한정됨으로, 허수나 음의 실수는 될 수가 없음.

X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z>0

G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n)=(Z-A-B)/(AB)^(1/n)=(X+Y-Z)/(AB)^(1/n)

X=G(AB)^(1/n)+A, Y=G(AB)^(1/n)+B, Z=G(AB)^(1/n)+A+B

{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n

G 는 항상 양의 실수가 되며, n=2 일 때는 G=(2)^(1/2) 이 됨.

X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B

상기 식의 모든 자연수 (A,B) 에서 (X,Y,Z) 는 무리수 또는 모든 피타고라스수를 나타냄.

페르마정리 증명 제 1 방법

n 이 3 이상 일 때, 모든 자연수 (A,B) 에서 G(AB)^(1/n) 이 무리수로 되어, (X,Y,Z) 가 무리수가 됨.

{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n

상기 식에서 A=B 인 경우에는, G(A)^(2/n)={2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}A 가 됨.

[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 으로

G(AB)^(1/n) 을 나누고 곱하면 다음과 같은 식이 유도되며, q 는 A=B 이면 1 이 되어야만 함.

이 때의 [{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 은

모든 자연수 (A,B) 에서 무리수가 됨. {A^(n-1)B}, {AB^(n-1)} 이 항상 자연수임으로, {A^(n-1)B}^(1/n), {AB^(n-1)}^(1/n) 이 좌변의 상수와 결합할 때, 한 항은 자연수로 만들 수도 있으나, 나머지 (n-2) 개 항은 항상 무리수로 남게 되고, 결국 이 들의 합은 무리수가 되는 것임.

q=2(X+Y-Z)/{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}[{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]

G(AB)^(1/n)=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]

모든 자연수 (A,B) 에서 G(AB)^(1/n) 은 무리수가 됨. 만약 G(AB)^(1/n)=(X+Y-Z) 를 자연수로 가정하면,

q=2(X+Y-Z)/{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}[{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 는

자연수/무리수가 될 수밖에 없고, A=B 인 경우에 q 는 분자와 분모가 서로 다른 무리수가 됨으로서, 절대로 1 이 될 수가 없는 모순이 발생하기 때문임.

그러므로 G(AB)^(1/n) 은 항상 무리수가 되어, (X,Y,Z) 도 무리수가 되는 것임.

페르마정리 증명 제 2 방법

X^n+Y^n=Z^n

상기 식을 아래와 같이 변형함.

{X^(n/2)}^2+{Y^(n/2)}^2={Z^(n/2)}^2

지수=2 일 때 {X^(n/2),Y^(n/2),Z^(n/2)} 는 아래 식과 같이 나타낼 수가 있음.

a=Z^(n/2)-Y^(n/2), b=Z^(n/2)-X^(n/2)

X^(n/2)=(2ab)^(1/2)+a, Y^(n/2)=(2ab)^(1/2)+b, Z^(n/2)=(2ab)^(1/2)+a+b

n 이 소수일 때, 아래와 같이 ab 는 서로소인 자연수 (X,Y,Z) 에서 항상 무리수가 됨.

ab=Z^n-(YZ)^(n/2)-(XZ)^(n/2)+(XY)^(n/2)

X^(n/2) 과 Y^(n/2) 을 곱하여 아래와 같이 정리함.

(XY)^n=2a^3b+2ab^3+13(ab)^2+6ab(a+b)(2ab)^(1/2)

만약 (X,Y,Z) 를 자연수라고 가정하면,좌변인 (XY)^n 는 자연수가 되고, 우변인

2a^3b+2ab^3+13(ab)^2+6ab(a+b)(2ab)^(1/2) 은

무리수가 되는 모순이 발생함. 그러므로 (X,Y,Z) 는 무리수가 되어야만 함. 해설 끝.