피보나치수열의 비는 황금비의 절반이다. 피보나치의 수열의 일반항에 황금비의 구성요소인 1+√5가 숨겨져 있다.

최대의 과외교사가 되는 길:

고등학교 교과서를 열면 등차수열, 등비수열, 잡수열이라는 용어와 극한, 극한값 같은 해괴한 말들이 너이든 아버지들을 당황하게 만들기 일쑤이다.

수열에 관련된 개념을 이해하는 데는 이탈리아의 수학자인 피보나치(Fibonacci)라는 사람이 1220년 출간한 산수책 「산판서」가 가장 중요한 참고서이다.

피보나치는 다음과 같이 주어진 정수들로 이루어진 수의 열(sequence)을 관찰하게 되었다.

‘1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

이런 수열의 항들의 형성규칙을 자세히 들여다보면 놀라운 발견을 하게 될 것이다.

「임의의 항은 앞의 두 항의 합과 같다.」

다시 말해서

1+1=2, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89, 55+89=144,…

처음 수 1에서 출발하여 두 번째 있는 수는 1이고, 세 번째 있는 수는 3이다. 그리고 세 번째 수는 2이고 네 번째 잇는 수는 3이다.

첫 째 항을 F(1), 두 번째 항을 F(2), 세 번째 항을 F(3)와 같이 나타낸다. 이런 표현을 이용하면 피보나치의 수열을 다음과 같이 쓸 수 있다. 이런 것을 점화식이라고 한다.

F(1)=F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)

수열의 이웃하는 항들인 F(n), F(n+1)들의 비 F(n+1)/F(n)를 생각해보자.

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 8/5=1.60. 13/8=1.625,

여기서 다음과 같은 질문이 생기게 마련이다.

첨수 n이 커지면 F(n+1)/F(n)가 얼마나 빨리 커질까?

그런데 1843년 비네라는 사람이 놀라운 수학적 공식을 발견했다.

α=(1+√5)/2, β=(1-√5)/2, F(n)=(αⁿ-βⁿ)/√5

이 무슨 운명의 장난인가?

『피보나치의 수열의 일반항에 황금비의 구성요소인 1+√5가 숨겨져 있었다.』

더욱 놀라운 것은 F(n)=(αⁿ-βⁿ)/√5, F(n+1)=(α^(n+1)-β^(n+1))/√5에 의하여

lim(n→∞)F(n+1)/F(n)=(√5+1)/2이라는 사실이다.

따라서 다음과 같은 유연한 결론을 얻게 되었다.

『피보나치수열의 비는 황금비의 절반이다.』

필자는 한 술 더 떠서 행렬로 표현하였더니 아! 아름답도다.

행렬 F={{F(n+1), F(n)}, { F(n), F(n-1)}}과 A={{1,1},{1,0}}에 대하여 F=Aⁿ이 된다는 것이다.

이 황금비는 2차방정식 x²+x－1=0의 근에 해당하는 무리수(약 1.618)이다. 피보나치수열은 한 쌍의 토끼가 번식하는 숫자를 나타낸 것이다. 자연계에 존재하는 꽃잎의 수는 접시꽃은 5, 코스모스는 8, 시네라리아는 13 등으로 피보나치수열에 있는 숫자로 구성된다.

증권분석가 엘리오트는 주가파동을 관찰한 결과 피보나치수열 식에 의한 황금비율에 따라 주가가 움직이고 있음을 발견하여 엘리오트파동이론을 정립하였다.

이상의 이야기를 한 마디로 요약하면 다음과 같다.

이탈리아의 수학자인 피보나치가 고안해 낸 수열로서 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…와 같이 선행하는 두 가지 숫자의 합이 다음 합의 수치가 되는 특수한 수열로서 n항과 n+1항의 비율은 1:1.618 이 된다. 이 비율은 시각적으로 균형이 잡힌 감각을 부여하여 황금분할 또는 황금률이라고도 한다.

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테일러의 급수정리는 다음과 같다.

함수 f가 a를 포함하는 개구간 L에서 (n+1)차 미분가능하면 a가 아닌 임의의 점 x∈L에 대하여

⑴ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+…+[fⁿ(n)/n!](x-a)ⁿ+R_n(x)

⑵ R_n(x)=[f^(n+1)(t_x)/(n+1)!](x-a)^(n+1), a