자연과학의 역사에 의하면 순정과 정열을 지닌 『천재아 갈루아』는 20세 7개월이라는 짧은 생애를.

자연과학의 역사에 의하면 순정과 정열을 지닌 『천재아 갈루아』는 20세 7개월이라는 짧은 생애를 끝나고 말았습니다.

에바리스트 갈루아(1811-1832)는 1811년 10월 25일에 프랑스 파리 근처의 작은 마을에서 태어났습니다. 그는 1832년 5월 30일 21살의 나이로 세상을 떠났습니다. 백과사전에 따르면 갈루아는 어렸을 때 평범한 계산 문제도 곧잘 틀리고 수업 시간에 이상한 질문을 하는 문제아였습니다. 중학교 때는 수학 시험에 0점을 받기도 하였습니다. 파리 공과 대학 입학시험에서 세 번씩이나 떨어졌습니다. 갈루아는 1832년 5월 30일, 이른 새벽에 이유를 알 수 없는 결투를 벌이다가 중상을 입고 세상을 떠났습니다. 그 전날 갈루아는 자기의 죽음을 예상한 듯이 메모를 남겼다고 합니다. 여기에 아주 획기적인 수학 이론이 정리되어 있었는데, 이것이 유명한 갈루아 이론 입니다. 갈루아의 천재성이 인정되었습니다. 그래서 파리 공과대학에서는 대학시험 때 그를 3번씩이나 낙방시켰던 것을 안타깝게 생각했습니다. 그 후 프랑스에서는 「재능 있는 젊은이를 낙방시키는 일이 없도록 각별히 주의했다」고 합니다.

갈루아는 정치운동에 관여하다가 두 번이나 투옥되었습니다. 그는 출옥한 후 곧바로 연애 사건 때문에 결투에서 죽음을 당하였습니다. 아름다운 순정과 정열을 지닌 이 천재아는 20세 7개월이라는 짧은 생애를 끝나고 말았습니다.

갈루아는 수학 분야만이 아니라 과학 일반 예술 심리학에 걸쳐 대자연을 아우르고 통합하는 새로운 이론인 『군론(group theory)』을 창조해낸 프랑스의 영원한 젊은이였습니다. 필자는 인류에게 향후 300백년간 해야할 일를 남기고 떠난 갈루아를 좋아합니다. 이 세상에 다른 사람들에게 일거리를 마련해준 사람 그는 위대한 사람입니다. 이 순간에도 일거리가 없어 고민하는 사람이 얼마든지 있습니다. 실로 1000년간 인간이 해결하지 못했던 5차이상의 대수방정식의 일반적 해법은 존재하지 않는다는 것을 갈루아는 증명했던 것입니다. 수많은 물리학자들이 이 시각에도 시간의 본성과 시간의 속도를 측정하고 있습니다. 속된 말로 재벌을 무슨 그릅 정치집단을 무슨 그룹 등으로 부르고 있습니다. 참여당의 젊은 자녀분들은 천박한 현실적 질곡을 등지고 갈루아가 진리를 향하여 걸어가던 길을 마음 깊히 간직하기를 기원합니다. 아무리 세상이 삭막해진다해도 갈루아와 아벨의 젊은 영혼은 지구를 떠나지 않을 것을 필자는 믿습니다. 참여가족 자녀들은 부모에게 잘하고 갈루아 형재의 우정처럼 갈루아의 동급생들처럼 갈루아의 친구처럼 갈루아의 연인처럼 제2참여정부를 수립하려는 시대정신을 이끌어가는 어머니 아버지를 존경하고 사랑하고 공부 열심히 하여 선생님들의 헌신에 보답할 것으로 보고 이런 작업을 하고 있습니다.

이 세상은 여러 가지 개체들의 나열로 형성되어 있습니다. 지금 참여가족이 식사를 한다고 합시다. 한 가족이 함께하는 식탁을 함께 살펴봅시다.

참여가족 식탁 여타정당 가족의 식탁

김치 보리밥 산삼 순쌀밥

간장 소동파의 돈육 된장 공명의 만두

이와 같은 모양의 배열이 온 천지를 가득 채우고 있는 이 세상의 실체라는 주장입니다.

지금부터는 고등학교 1학년 참여가족 자녀분을 상대로 학습하는 장면으로 엮어가겠습니다. 그런 방식이 메트릭스 이론을 익히는데 유용하리라 봅니다. 행렬이론은 초중등학교의 학습에 중요한 위치에 있습니다. 뿐만 아니라 우리들 자신도 승용차, 아파트, 고속도로, 대중공원, 개천들이 행과 열을 이루고 있는 도시에서 매일을 보내고 있기 때문입니다. 다시 말해서 우리 각자는 거대한 행렬의 한 성분(component)에 지나지 않습니다. 필자의 말은 동시대의 사람들 전체의 집합 U의 원소인 나 a는 다른 수많은 사람들이 이루는 행렬체계의 한 구성원에 지나지 않는다는 것입니다. 모든 사람을 한 줄로 세울 수는 없으므로 여러 개의 줄로 모두를 세워놓은 것이 지금의 세상입니다. 따라서 행렬의 원리는 현대를 살아가는 사람이면 누구나 꼭 이해하여야 합니다.

[질문1] 행렬이론의 시작은 어디서부터 입니까?

[해설] 행렬(matrix)이란 어떤 사물을 사각형 모양으로 배열하는 일종의 모양이다. 이른바 집합의 대상은 모든 것이 다 될 수 있다. 지금은 수리과학 시간이니 수의 모임에 한해서만 생각하였다.

예를 들면 수식편집기에서 A={pmatrix{1&2#3&4}}는 가로에 A₁=(1 2) , A₂=(3 4) 또 세로에 A¹=(1 3), A² = (2 4)가 위치한 수 1,2,3,4이다. A₁, A₂을 행렬 A의 행(row)이라 하고, A¹, A²을 열(column)이라고 한다. 또 다른 예를 들어 보자.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 0

이것에서 행은 2개로 1 2 3 4 5와 6 7 8 9 0이다. 열은 5개가 있다. 이런 행렬을 크기가 2×5인 행렬이라 부른다.

일반적으로 크기가 mn인 행렬은 다음과 같이 표시된다.

일반적으로 mn개의 수 a_ik(i＝1,2,3,…, m이고, k＝1,2,3,…,n)를 와 다음 같이 나열한 것을 (m, n)형태의 행렬이라 한다.

a_11：a_12 ：a_13 ：…： a_1n

a_21：a_22 ：a_23 ：…： a_2n

…………………………

a_m1：a_m2 ：a_m3 ：…： a_mn

행렬의 가로 줄을 행, 세로 줄을 열이라 한다. 행렬의 구성원 a_ik을 이 행렬의 i행 k열의 성분이라고 한다. 더구나 m＝n일 때는 n차의 정사각행렬(正方行列)이라고 한다.

중고등학교에서는 가로 세로가 다 같이 2인 2⨯2 정방행렬만 공부하게 편성되어있다. 그러나 대학이상에서는 유한크기의 행렬인 m×n 메트릭스를 배운다.

[질문2] 두 행렬들의 같은 행렬이란 어떤 상황인가요?

[해설] 먼저 같다(equal)라는 용어의 의미를 정의해야 한다. 어떤 논리를 전개할 때 제일먼저 해야 할 일은 『서로 같다』라는 표현의 의미를 명백히 하는 일이다. 만약 나는 너와 같다고 표현한다면 어떤 상황에서 어떤 형태로 존재할 때 같은 것인가를 명백히 정해 두어야 한다는 것이다. 『내 생각은 너의 생각과 같다』라고 한다면 내가 악을 미워하면 너도 미워한다는 것인지, 내가 선을 증오하면 너도 선을 증오한다는 의미인가를 미리 정해야한다는 논리이다. 다음과 같은 두 행렬을 각각 A, B, C로 나타낸다.

a_11：a_12 b_11：b_12 c_11：c_12

a_21：a_22 b_11：n_12 c_11：c_12

행렬을 각각 A, B의 대응하는 성분이 서로 같을 때 A, B는 같은 행렬이라 하고, A=B로 표시합니다. 즉, a_11=b_11, a_12=b_12, a21=b_21, a_22=b_22이라는 뜻입니다.

여기에서 크기가 다른 두 행렬은 같을 수가 없음에 유의해야 합니다. 예를 들어

1 2 1 2 3

3 4 4 5 8

은 2×2, 2×3행렬이므로 비교자체가 불가능합니다.

다시 말해서 두 행렬 A＝(a_ik), B＝(b_ik)가 같다고 하는 것은 대응하는 원소가 모두 같다는 것 (a_ik＝b_ik)을 말하며 이를 A=B로 나타낸다. 즉, 두 행렬의 형이 같고, 각 원소 (i,k)가 같을 때는 이 두 행렬은 같다고 한다.

[질문3] 행렬들의 합과 차는 어떤 규칙에 따릅니까?

[해설] 행렬 A, B, C에 대하여

a_11：a_12 b_11：b_12 c_11：c_12

a_21：a_22 b_21：n_22 c_21：c_22

A+B를 다음과 같이 정의한다.

a_11+b_11：a_12+b_12

a_21+b_21：a_22+b_22

형이 같은 두 행렬 A, B에 대하여 원소 (i,k)가 (a_ik＋b_ik)인 행렬을 원래의 행렬의 합이라고 하며, 이를 A＋B로 표시한다.

예를 들면

1 2 4 3 4+1 2+3 5 5

3 4 2 1 3+2 4+1 5 5

행렬 A=(a_ik)와 수 α에 대하여 새로운 행렬 αA=α(a_ik)=(αa_ik)을 스칼라곱이라고 정의한다. 만약 α=1이면 1A=(1a_ik)=A, α=-1이면 (-1)A=(-1a_ik)=(-a_ik)=-A이다.

이런 약속에 의하면

A-B=A+(-1)B=A+(-A)=

a_11-b_11：a_12-b_12

a_21-b_21：a_22-b_22

이와 같은 약속에 따르면 A-A=

a_11-a_11：a_12-a_12 0 0

a_21-a_21：a_22-a_22 0 0

또 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(O)로 표시하면 A-A=O, A+O=O+A=A이다.

예를 들면

1 2 -1 -2 -1 -2 1 2

3 4 -3 -4 3 4 -3 -4

에서 A의 음원은 두 번째라는 것입니다.

[질문4] 정방행렬들의 전체의 집합은 연산 합과 차에 의하여 군을 이룬다는 것은 무슨 말인가요?

[해설] 예를 들어 2⨯2행렬 행렬 A, B, C에 대하여 A+B=B+A(교환법칙), (A+B)+C=A+(B+C)(결합법칙), A+O=O+A=A(영원의 존재), A+(-A)=O=(-A)+A(음원의 존재)라는 4가지 조건을 모두 만족하게 된다. 행렬집합 M_(2×2)은 연산인 합(+)에 의하여 덧셈군을 이룬다고 한다. 이런 생각은 갈루아에 의하여 최초로 생겨난 사고방식이다. 젊은이의 우상 그가 있기에 이런 거대한 사고는 가능했다.

[질문5] 일반적으로 행렬들의 곱은 어렵다던데 왜 그런가요?

[해설] 예를 들면 두 행렬 A와 B의 곱은 다음과 같다.

a_11：a_12 b_11：b_12 a_11 b_11+a_12 b_21 a_11 b_12+a_12 b_22

a_21：a_22 b_21：b_22 a_21 b_11+a_22b_21 a_21 b_12+ a_22b_22

실제로 행렬 A, B에 대하여 곱(product) AB는 아래 계산에 따르면 AB=O이다.

1 2 2 4 1× 2+2×(-1) 1×4 +2×(-2) 0 0

3 6 -1 -2 3×2+6×(-1) 3×4 +6×(-2) 0 0

[질문6] 행렬들을 곱하는데 무슨 문제가 생겼나요?

[해설] AB=O이지만 (product) BA는 아래 계산에 따르면 AB≠O이다.

실제로 행렬 A, B에 대하여 곱(product) AB는 아래 계산에 따르면 AB≠O이다.

2 4 1 2 2× 1+4× 3 2× 2+4× 6 14 28

-1 -2 3 6 (-1)× 1+(-2)× 3) (-1)× 2+(-2)× 6 -7 -14

A와 B의 곱 AB와 BA는 같은 행렬이 아닐 수가 있다는 것이다. 이런 사실을 행렬의 곱은 반드시 곱에 관하여 가환이 아닐 수 있다는 뜻이다.

또 하나의 예를 들면 다음과 같은 행렬 A, B에서 AB와 BA는 다른 행렬이 된다.

1 0 -1 1 0 0 -1 1 0 -1

2 -1 0 -1 1 3 -1 1 -1 1

1 1 - 1 1 -1

그렇지만 다음과 같은 행렬 A, B에서 AB와 BA는 같은 행렬이 된다.

1 2 3 1 -2 5 1 0 0

0 1 4 0 1 -4 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

행렬의 곱이 가능한 경우에도 A에 B를 곱한 결과와 역으로 B에 A를 곱한 결과가 다를 수도 있다. 즉, AB=BA일 필요가 항상(alway) 인 것은 아니다, 이런 경우를 반드시 필요한 것은 아니다, 항상 그렇지는 않다, 꼭 그럴 필요는 없다, 영어로 need not이라고 한다.

이와 같은 성질을 행렬의 곱은 가환이 아니다라고 한다.

그렇지만 수 1,2,3,...등에서 2× 3=2+2+2=3+3=3×2이다. 즉, 수들의 곱셈에서는 반드시 교환법칙이 성립한다. 이것이 행렬이론을 연구하게 된 큰 원인이다.

[질문7] 행렬의 곱에는 어떤 중요한 쟁점이 잇는가요?

[해설] 행렬이론에서는 가환법칙이 반드시 성립하지는 않는다는 것이 매우 중요하다.

만약에 2× 100과 100×2가 다르다면 2원짜리 동전 100개는 200원이라 하고, 100원짜라 2개는 300원이라고 하면 얼마니 곤란하겠는가?

만약에 2×3 행렬 A와 3×2행렬 B가 있다면 AB는 2×2행렬이고, BA는 3× 3이다.

C=AB는 원소가 4개이니 4명만 신경쓰면 되지만 D=BA는 원소가 9개이니 9명을 신경써야 할 것이다.

다른 경우에서 2×2행렬 A, B에서 C=AB, D=BA의 원소의 개수는 같지만 C의 원소들은 엄청나게 큰 수인반면 D는 비교적 작은 수라면 다루기에 큰 차이기 있을 것이다.

[질문8] 단위행렬이란 어떤 역할을 합니까?

[해설] 정방행렬에서 대각선 위의 성분의 값이 모두 1이고, 다른 모든 성분이 0인 행렬을 단위행렬(identity)라고 부른다.

여기서 문제가 되는 것은 임의의 행렬 A에 대하여 AI=IA=A가 성립하는 것이다.

단위행렬은 마치 곱(times)에서의 1과 같은 역할을 한다. 따라서 행렬이론에서 곱에서의 항등원 I는 중요한 요소이다.

[질문9] 행렬공간이란 어떤 형태의 공간을 말하는지요?

[해설] 행렬들 간에 합(sum)이 정의 되고 스칼라곱 αA가 정의 되면 연산 +와 스칼라곱 “”은 8가지 조건을 모두 만족하게 된다. 이런 조건을 모두 만족하는 벡터공간이라고 부른다. 따라서 정방행렬 전체의 집합은 하나의 공간을 이루게 된다.

크기가 n× n인 행렬에 대하여 (A+B)+C=A+(B+C), A+O=A=A+0, A+(-A)=0=(-A)+A,(AB)C=A(BC), A(B+C)=AB+AC, AI=IA=A이다.

[질문10] 전치행렬이란 어떤 것인가요?

[해설] 행렬 A의 행을 열로 바꾼 새로운 행렬을 전치행렬이라 하고, A^T로 표시한다.

예를 들면

a_11：a_12 ：a_13 의 전치행렬은

a_11：a_21 ：a_31

a_21：a_22 ：a_23 a_12：a_22 ：a_32

a_31：a_32 ：a_33 a_12：a_22 ：a_33

이와 같은 모양에서 (A^T)^T=A, (A+B)^T=A^T B^T, (αA)^T=αA^T이다.

그러나 (AB)^T=A^T B^T가 아니라 (AB)^T=B^T A^T라는 것이다.

예를 들면

A : 2 0 1 B : -1 0 4 AB : -3 0 9 (AB)^T :-3 -3 B^T A^T : -3 -3

-1 0 4 1 3 0 -3 0 0 0 0 0 0

9 0 9 0

[질문11] 전치행렬이라는 개념이 갈루아와 무슨 관련이 있는가요?

[해설] A^T=A인 행렬을 대칭행렬이라 하고, A^T=-A인 행렬을 교대칭행렬이라고 한다.

수학의 원리는 모든 정방행렬 A는 대칭행렬 B와 교대칭행렬 C의 합으로 표시된다는 것이다.

다하여 A=B+C, B^T=B, C^T=-C가 되는 쌍 (B,C)는 단 하나만 존재한다. 이런 사실은 현대과학의 중점사항으로 만물의 균형유지를 보장하는 것이다. 이와 같은 『균형 잡힌 나비그림을 최초로 그려본 사람이 갈루아였다.』

예를 들면

A : 0 3 A^T : 0 -1 A+A^T : 0 2 A-A^T : 0 4

-1 1 3 1 2 0 -4 0

1/2(A+A^T): 0 1 1/2(A-A^T): 0 2 A : 0+0=0 1+2=3

1 1 -2 0 1-2=-1 1+0=1

그러므로

A=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T), B=1/2(A+A^T), C=1/2(A-A^T), B^T =B, C^T =-C

[질문12] 이런 원리가 참여당과 무슨 관련이 있습니까?

[해설] A=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T), B=1/2(A+A^T), C=1/2(A-A^T), B^T =B, C^T =-C에서 비대칭부분 C=1/2(A-A^T)을 잘라내면 대칭부분 B=1/2(A+A^T)만 남을 것이다. 만약 C=O이었다면 A는 대칭이므로 그럴 필요가 없다. 어떤 나비 한 마리가 창공을 나를 때 그의 몸이 대칭형이면 잘 날아갈 것이다. 그렇지 못하는 얼마가지 못해서 추락하게 마련이다. 실제 상황이 무엇인지는 몰라도 정치사에서는 주살이라고 부른다,

물론 정당은 집합은 아니다. 단지 정치집단일 따름이다. 그런 집단에는 연산이라는 규칙도 존재할 수 없으며 권모술수만 연산자를 대신하게 되어있다.

정방행렬 A을 몇 승하여 영행렬이 될 때 그것을 멱영행렬이라고 부른다. 만약 A ^3=O이라면 3번의 제곱으로 그런 집단을 put (a traitor) to death 있다. 예를 들면

C : 0 0 0 C²: 0 0 0 C³ : 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0 0

필자의 주장은 참여당은 갈루아의 이론으로 행과 열의 원리를 터득하여 『다음 총선에서 여타집단을 주살』시킬 수 있기를 희망한다.

위대한 인간정신(한재영) 으로

자연과학의 역사에 의하면 순정과 정열을 지닌 『천재아 갈루아』는 20세 7개월이라는 짧은 생애를 끝나고 말았습니다.(수리철학의 영광를 위하여!)