카발리에리의 원리와 구분구적법
네 땅이 클까? 내 땅이 클까?
인류문명이 시작되고 인간들이 농사를 짓기 시작하면서 인류는 자연스럽게 면적또는 부피를 구하는 문제와 맞닥뜨리게 되었을 것이다. 농경지의 면적을 측량하거나 수확한 작물의 부피계산등 실생활에서 이런문제들은 사람들을 끊임 없이 괴롭혔을 것이다. 인류는 이런 문제들을 해결하기 위해 여러 수학적 도구들을 개발해왔다. 이 과정에서 면적 혹은 부피를 계산하는 혁신적인 방법들이 많이 탄생하고 변화 되었는데 그 최종 완성판이라고 할 수있는 적분법(현대수학에서 적분은 우리가 직접 보고 느낄 수 있는 대상을 넘어서 머릿속에서만 그려질 수 있는 고도로 추상적인 대상에까지 적용되기에 이르렀다.)의 탄생에 영향을 준 카발리에리의 원리와 적분법의 시작이라고 할수 있는 구분구적법에 대해 얘기해 보려고 한다. 관심이 있다면 펜과 종이를 꺼내 그림을 그려보는 것이 이해에 도움이 될 듯 하다.
카발리에리의 원리 그리고 구분구적법은 무엇인가?
카발리에리의 원리는 17세기 이탈리아의 수학자 카발리에리가 발견한 원리로 두 개의 면적 혹은 부피의 비교에 관한 원리이다. 이해하기 쉽게 표현하자면 일단 두 개의 평행한 직선을 생각한다. 이 두 직선 사이에 구하고자 하는 면적 두개를 위치시킨다. 그 다음 평행한 두 직선에 평행한 또 다른 직선 하나를 잡는다.이 새로운 직선을 나머지 두 직선에 평행하게 유지시킨채로 위 아래로 움직인다. 그러면 우리가 구하고자했던 면적과 이 움직이는 직선 사이에 교선이 각각 생길 것이다. 이 때 이 두 교선의 비율이 항상
m:n이라면 전체 면적의 비율도 m:n이라는 것이 카발리에리의 원리이다.(3차원에서는 면적을 부피로 직선을 면으로 바꾸어 생각하면 된다.)
다음은 구분구적법이다. 구분구적법은 이과생이라면 누구나, 문과생들도 7차개정교육과정을 공부한 학생들이라면 누구나 들어봤을 것이다. 적분법의 출발이 되는 생각이고 적분과정중 하나라고 할 수도 있다. 말 그대로 구하고자하는 대상을 작은 단위로 나누어서 면적 혹은 부피를 구하는 것이다. 17세기후반 뉴턴과 라이프니츠 시대에 이르러서야 적분법의 수학적인 체계가 제대로 갖춰졌지만 고대 그리스사람들도 면적을 구하는데 구분구적법의 아이디어를 사용하고 있었다. 직사각형 정사각형등 우리가 공식을 알고있는 도형들의 면적을 구하는 것은 문제가 없지만 우리의 주변에는 이름붙이기도 애매할만큼 다양한 형태의 도형들이 널려있다. 이런 도형들은 기본도형인 삼각형 혹은 사각형으로 나눠서 구하면 쉽게 구할 수 있다. 하지만 원뿔이나 그냥 아무렇게나 생긴 물풍선처럼 곡면이 있는 대상은 정확하게 어떤 단위로 나누기가 애매하다. 적분으로 이러한 대상의 면적 혹은 부피값을 계산할 때에는 그것을 정확하게 나누기 보다는 우리가 계산하기 쉬운것으로 나눈다. 다시말해 그 대상보다 조금 더 커지거나 작아지더라도 우리가 알고있는 원기둥 혹은 사각형등으로 나눈다는 것이다. 이렇게 나누어도 무한히 많은 것으로 나누면 점점 오차가 줄어들고 이 값의 극한값을 취하는것이 적분과정인데 이 과정은 오늘 얘기할 주제를 벗어나므로 여기까지만 얘기하기로 하겠다.
카발리에리의 원리가 정말 맞는것일까?
우리가 수학을 배우다보면 증명과정을 자연스럽게 접하게 된다. 증명과정없이 그냥 만들어진 정리는 직관적으로 맞는것 처럼 보여도 사실상 아무짝에도 쓸모 없는 정리이다. 하지만 이것에도 예외가 있다. 아주 최소한의 정리 즉 다른 정리들을 증명할 때 정말 기본적으로 필요한 정리들은 증명과정없이 받아들이기로 약속한다. 이것들을 공리라고 하고 이 공리들을 토대로 정리들을 증명해 세워진 세계가 공리계이다. 얘기가 살짝 다른곳으로 샜는데 이렇듯 수학적증명과정은 수학에서 매우 필수적인데 카발리에리의 원리를 우리가 배울때는 그냥 원리가 어떤것인지만 배우고 넘어갔다. 증명과정없이 그냥 받아들이라는 것인데 수학을 배우는 사람이라면 이것은 받아들이기 힘들 것이다. 그렇다고 카발리에리의 원리를 공리처럼 받아들이기에는 수학적으로 기교가 좀 있기 때문에 의심이 간다. 2차원면적 혹은 3차원부피가 그 보다 한 단계 낮은 차원의 요소들의 합이라고는 생각할 수 없기 때문이다. 카발리에리의 원리를 살펴보면 구하는 대상의 성질을 그보다 한단계 낮은 차원의 요소와 관계지어서 생각하고 있다. 하지만 직선을 아무리 많이 더한다고해도 면적이 될수는 없으며 면적을 아무리 많이 더한다고 해도 부피가 되지는 않는다. 카발리에리가 이 원리를 처음 발표하면서 불가분량(더 이상 나눌 수 없는 양,이 원리에서는 2차원에서는 직선,3차원에서는 면적을 뜻한다.)법을 다룰 때 이 불가분량들의 총합이라는 개념을 사용했다. 이 부분이 발표 당시에도 많은 논란이 되었고 수학적으로 오류가 있음을 카발리에리도 알고 있었기 때문에 카발리에리는 두 번째 불가분량법을 발표한다. 이 두 번째 불가분량법이 우리가 알고있는 카발리에리의 원리인데 여기서 불가분량의 총합이라는 개념을 사용하지 않기 위해 카발리에리는 평행한 기준,위에서 말한 평행한 두 직선 (혹은 두 평면)을 도입했다. 이 부분을 좀 더 깊이 다루는 것은 이 글의 수준을 넘어가는 일이고 필자의 수학지식도 아직 그 수준까지는 이르지 못했기 때문에 현재의 카발리에리의 원리는 초기에 발견된 수학적오류가 해결된 것이라는것만 짚고 넘어가도록 하겠다.
적분법으로의 발전
이렇게 넓이와 부피를 구하는 계산방법과 지식들이 축적되어 적분이라는 위대한 결과물을 낳게 되었는데사실 카발리에리의 원리가 적분법에 직접적으로 연관되는 것은 아닌것처럼 보인다. 하지만 어떠한 대상을 그 자체로 보지않고 잘게 나누어서 생각하는 아이디어나 원리의 결과 자체는 분명 면적이나 부피를 구할 때 아주 유용하게 사용되었고 이는 적분법 아이디어의 발전으로 이어졌을 것이다. 또 대상을 잘게 나누어 본다는 것은 구분구적법과 직접적으로 연관되고 앞에서 말했다시피 구분구적법은 적분의 시작이다. 구분구적법은 역사적으로 어떤 한 사람의 아이디어라기 보다는 면적(부피)를 구하는 과정에서 자연스럽게 떠올리게 되는 아이디어이다. 이러한 아이디어가 후대에 전해져 다른 아이디어를 낳고 그것이 전해져 또 다른 아이디어를 낳고 이 과정이 반복되고 축적되어 적분이라는 완성품(!)이 탄생하게 된것이라고 생각한다.
사실 구분구적법을 이야기 하는데 적분법을 얘기하지 않으려니까 생각이 자꾸 멈추는것 같다. 그래서 오히려 글을 쓰기가 더 힘들었고 계속 입이 근질거린다. 하지만 적분법에 대해 얘기하는것은 정말 방대한 작업이고 훨씬 더 어려운 일이기 때문에 여기서 그만 할께요. 끝까지 다 읽으신 분이 있다면 감사합니다. 뭐하시는 분인지도 궁금하네요. 혹시 하실 말씀이 있다면 어떤 것이라도 좋으니 댓글로 달아주세요.
