한달 정도 근무한 직원, 해고할 수 있는지요

안녕하세요 스타트업 회사를 운영하고 있습니다규모가 작아서 5인정도의 직원을 두고 있는데요입사한지 한달 차 된 직원의 근무태만으로 인해해고하고 싶습니다1. 근로계약서는 작성하지 않은 상태인데 만약 해고당한 직원이 문제를 제기하면 어떻게 되나요?2.수습기간은 따로 없이 운영중입니다 한달 근무를 하고나서 해고 통보를 해도 제게 오는 불이익이 없을까요?도움의 말씀 부탁드립니다