한 마을에 소문이 퍼진다면 얼마나 빨리 퍼질 수 있을까?실제로 한 마을에 소문이 퍼지는 정도는 놀라운 정도이다. 불과 몇 사람이 본 어떤 사건이 두 시간도 채 못되어 이미 마을 전체에 돌아다니고 마침내 모르는 사람이 아무도 없을 정도로 되는 경우가 종종 있다. 이처럼 놀라운 속도는 때로는 놀랍고 신기할 뿐이다. 그러나 이러한 일들도 수학적인 계산에 의해 분석해 보면 아무렇지도 않은 당연한 일이 된다. 결국 그것은 소문 자체가 지닌 신비스러운 그 어떤 요소에 의해서가 아니라 순전히 수학적인 분석에 의해 설명되는 것이다. 우선 다음과 같은 경우의 예를 살펴보자. 어떤 남자가 인구 5만 정도의 마을에 모든 사람들이 놀라워 할 만한 소식을 가지고 아침 8시에 도착했다. 그는 숙박할 집에서 단 3사람의 마을 주민에게 이소식을 전했다. 이 소식을 전달하는데 대략 15분이 걸렸다고 하자. 그러면 아침 8시 15분에 이 소식은 이 마을에서 4 사람이 알 게 된다.(즉 이마을에 도착한 남자와 이 소식을 전해 들은 3명의 마을사람) 이 소식을 전해들은 3명의 마을 사람들은 각각 그 이야기를 다른 3명의 친구들에게 이야기했다. 여기에서도 역시 15분이 걸렸다. 결국 도착한 지 30여분 후에 소식은 벌써 4+3×3=13명 에게 퍼진 셈이다. 다음으로 이 소식을 전해들은 9명의 마을 사람들은 곧이어 15분 동안 각자 3명의 다른 마을 사람들에게 전했다. 그러면 아침 8시 45분 까지 그 소문은 13+3×9=40명 에게 퍼진 것이다. 만일 소문이 이와 같은 방식으로 계속해서 널리 퍼진다면, 이 소문이 마을 사람들에게 퍼지는 상황은 다음과 같이 된다. 9시까지 소문을 아는 사람의 수 : 40+3×27=121명 9시 15분 까지 소문을 아는 사람의 수 : 121+3×81=364명 9시 30분 까지 소문을 아는 사람의 수 : 364+3×243=1,093명 소식이 마을에 퍼지고 나서 1시간 30분 후에 총계 약 1,100명이 이것을 알 게 되는 것이다. 이 숫자는 마을 인구 5만에 비하면 극소수라고 생각할 지도 모르겠다. 소식이 완전히 모든 마을 사람들에게 알려지기에는 아직도 많은 시간이 걸린다고 생각할 수도 있을 것이다. 그러나 여기에서 좀 더 나아가 소문이 퍼지는 상황을 계속 추적해 보자. 9시 45분 까지 : 1,093+3×729=3,280명 10시까지 : 3,280+3×2,187=9,841명 10시 15분까지 : 9,841+3×6,561=29,524명 이상과 같이 살펴본다면 오전 8시에는 단 한 사람의 남자만이 알고 있던 소문이 10시 30분 이전에 이미 마을 사람 전부에게 알려지게 되는 것이다. 자, 그렇다면 이제 다시 수학적 문제로 돌아가서 이러한 합계를 구하는 방법에 대해서 살펴보기로 하자. 이것은 결국 다음과 같은 수열의 합을 구하는 것이다. 1+3+3×3+3×3×3+3×3×3×3+ … 이 합계를 좀 더 간단히 구해보자. 1 = 1 3 = 1×2+1 9 = (1+3)×2+1 27 = (1+3+9)×2+1 81 = (1+3+9+27)×2+1 즉 이 수열의 각각의 수는 자기보다 앞에 있는 모든 수의 합계에 두 배를 하고 다시 1을 더한 것과 같다. 따라서 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 이 수열의 1에서 어떤 수까지의 합계를 구하고자 한다면 최후의 수에다 그 수에서 1을 뺀 수의 절반을 더하면 된다. 예를 들면 다음 수의 합은 1+3+9+27+81+243+729 = 729 + (729-1)/2 = 1,093 이 된다.