이런 노선도에 어려운 수학이 숨어 있다. 위상수학이라는 분야가 바로 그것이다. 어떤 도형을 자르거나 붙이지 않으며 서로 다른 두 점이 중복되지 않도록 도형을 늘이거나 줄이고 구부려서 얻은 도형을 처음 도형과 ‘연결 상태가 같은 도형’이라고 부르는데, 이러한 성질을 연구하는 수학의 한 분야가 위상수학 또는 위상기하학이다.

  우리가 놀이공원에서 볼 수 있는 마술 거울을 생각해 보자. 멋있는 몸매를 자랑하는 사람도 그 거울에 비친 자기 모습을 보곤 웃음을 터트리게 된다. 머리는 조그맣고 허리는 엄청나게 굵어지고 다리는 또 아주 길쭉해지는 혹은 그 반대가 되는 그런 모습을 본 적이 있지 않은가? 이러한 변형도 역시 위상수학인 것이다. 그래서 위상기하학을 고무판 위의 기하학이라고도 한다. 고무판 위에 도형을 그린 다음 고무판을 비틀거나 잡아당기면 거기 그려진 그림도 휘어지고 늘어나고 줄어들곤 하지 않는가?