Michael Guillen 저/박영훈 역 | 경문사(박문규) | 2002년 09월 |페이지 237
책소개
무턱대고 어렵게만 느껴지는 수학의 세계를
쉽고 재미있는 언어로 풀이해 낸 대중교양수학서.
논리와 증명, 극한과 미적분, 비유클리드의 기하학, 확률론과 통계,
게임이론 등을 이해하기 쉬운 비유로 찬찬히 풀어내준다.
(예스24 발췌)
오늘날 한국의 수학은
우리에게 펀더멘털(fundamental)이 되고 있는가?
홍익대 박경미 교수가 쓴 칼럼 중 (중앙일보 2008.9.22) 일부를 소개한다.
미적분은 변화 현상에 대한 변화 정도를 다루는 동적인 수학이자
수학적 사고의 정수를 보여 주는 학교 수학의 절정인데,
절반 이상의 학생들이 이를 전혀 경험하지 못한다는 것은
도저히 용인할 수 없다는 입장이었다.
중략
수학적 사고는 자연과학과 공학뿐 아니라 인문과학과 사회과학적 탐구의
펀더멘털이 되기 때문에
수학에 대한 특별 대우가 어느 정도는 필요하다.
이와 더불어 앞으로 수학 교육과정은 수학 선택과목을 더 다양화하고
성격을 차별화하는 쪽으로 가야 한다.
1997년 제 7차 교육과정 부터 2007년 수정고시안 이전까지
고등학교에 다녔던 대한민국의 문과 학생은 미적분을 배우지 못했다고 한다.
어찌 이런 일이,,,라는 말 밖에는 할 말이 없다.
수학이 정말로 대부분의 사람들의 생각 처럼
사칙 연산 이외에는 우리에게 별 쓸모가 없을까?
수학을 책 밖으로 끄집어 내고 싶은 당신에게
다음의 책을 소개한다.
이 책의 원 제목은 '무한으로 향하는 다리들(Bridges to Infinity)'이다.
그런데 역자는 한국어로 출판된 책의 제목을
'무한으로 향하는 다리들(Bridges to Infinity)'대신
-인간적인 너무나 인간적인 수학-으로 바꾸었다.
역자는 아마도 "무한으로 향하는 다리"가 연결하고 있는 두 대상을
수학과 인간이라고 생각했던 것 같다.
모든이라는 낱말의 모호성-패러독스
모든 수학 문제는 필연적으로 어떤 형태로든 정확한 결과물을 낳게 마련인데,
그 형식은 질문에 대한 정확한 답의 형식을 갖추거나
또는 그 답이 불가능함을 보이는 증명의 형식을 띠고 있다
(본문 34 페이지)
"모든 법칙은 예외가 있다"와 같은 명제들은
우리가 "모든"이라는 단어에 진술하는 명제까지 포함하여
이를 하나의 부분으로 포함하는가? 또는 아예 배제하는가에 따라,
그 명제가 받아들일 수 있는 명제가 되거나 또는 모순되는 명제가 된다.
(본문 30 페이지)
패러독스
올바른 모든 명제는
가장 확실하고 정확한 결과물을 낳는다는 확신은 타당할까?
가정이 거짓인 모든 명제는 결론의 진실 여부와는 상관없이 참인 명제가 된다.
가정을 부정하면(가정이 거짓이면)모순이 생긴다는 것을 증명해서
가정이 반드시 참일 수 밖에 없음을 결론짓는 귀류 법식 증명은 언제나 옳은 것인가?
우리는 삶의 목표(결론)를 긍정(참)으로 이끌고자
때론 (어떤 이는 일상처럼) 잘못된 수단(가정)을 선행한다.
거짓된 수단을 부정하면 모순이 생겨야 하지만,,
우리 세상은 그 모순이 얼마나 자주 모습을 감추어 버리던가?
무리수로 느끼는가? 아니면 유리수로 소유하는가?
가능한 어떤 측정으로도 풀리지 않는 과학적 가능성을
수학자들이 무리수를 발견하는 과정에서 제기했다는 사실이다.
시간의 흐름이 "실수와 같은 "연속성인지 또는 '유리수와 같은 "연속성인지
이를 합리적으로 구분할 수 있다 하여도,
경험론자들에게는 여전히 이들 구분 모두가 비 합리적일 수 밖에 없다.
(본문 58 페이지)
그리스 시대엔 클립세드(물의 흐름으로 시간을 측정하는 기구-물시계)가 유행했다.
피타고라스의 제자 히파수스가
무리수 √2를 발설하는 바람에 살해되는 비극이 일어났던 것과는 별개로 말이다.
시간은 유리수 일까 ?무리수 일까?
유리수 직선과 무리수 직선 사이의
우리의 눈은 불연속성을 감지하지 못한다.
1초에 24개의 화면이 영사기에서 비치는 그 순간에도
우리는 이 또한 한 화면으로 인식하지 않던가?
다시 한번 더,,,
시간은 유리수 직선인가? 실수 직선인가?
무한은 동사여야 한다.
무한이란 명사라기보다는
동사라고 주장하는 사람들에게 많은 사랑을 받았을 것이다.
무한이라는 것이 동사라는 말은
무한히 밟아가는 과정을 강조한 것으로 딱히 무어라 부를 수 없는
실재하지 않는 것이라는 것이다.
(본문 64 페이지)
비록 무한이지만 짝수들의 집합은
정수라는 무한 집합의 크기의 절반일 것이라고 추측하는 사람이 있을지 모르겠다.
그러한 추측은 부분들을 합하면 전체가 되는 유한한 일상생활의 논리에 들어맞는다.
그렇지만 서로 같은 두 집합에 대한 칸토어의 정의에 따르면,
무한인 짝수 집합은 역시 무한인 정수 집합과 같은 집합이 된다.
(본문 65 페이지)
당신이 잘나고 우리가 못났다구? 그래서? 편 가르기 해보자는 거야?
그렇게 생각하고 있는 당신!!!
하하하하하,,,비웃고 있는 거다.
어쨌든 당신과 나는,,,
우리 모두는 결국엔 카토어의 집합 안에 모이게 될 것이다.
칸토어를 부정하고 싶은 그대여~~
그렇다면 이 말은 어떤가?
유클리드 세상, 데카르트 세계 그리고 리만의 우주
우주에 관해 생각할 때,
처음에는 아주 멀리 떨어져 있는 실로 감겨진 하나의 공을 보는 것에 비유할 수 있는데,
이때 이 공은 마치 0차원의 점과 같이 보인다.
좀 더 가까이 가면 이것은 표면이 평평한 이차원의 둥근 원판과 같이 나타나는데,,
더 가까이 다가가면 2-D 평면은 어느 정도 3-D구조를 갖는 것처럼 보인다.
이 마지막 단계가 현재 우리가 공간에서 지각하고 있는 단계로
표면의 구조가 가장 생생하게 그 모습을 드러낼 때이다.
(본문 122 페이지)
유클리드에게 세상은 직선과 평면,입체로 이루어져 있었다.
데카르트의 세계에서 물체는 길이와 폭 그리고 깊이를 새로 얻었다.
그리고 드디어 리만은
우리가 세상을 n 차원으로 확장해서 보는 길을 열어 주었다.
지금 우리에게 보이는 우주는 3-D이다.
현재 망원경 너머 우주가 3-D이므로
우주는 3-D다라고 말할 수 있는 자 누구인가?
그 존재의 세 가지 불변
지금까지 위상수학자들이 밝혀 놓은 가장 기본적인 세 가지 불변성은
차원, 변의 개수, 면의 개수이다.
이들 각자의 성질은
그 대상을 비틀거나 구부리고 또는 늘려도 변하지 않고 그대로 남아있다.
(본문 192 페이지)
위상수학자들에게 커피잔과 도넛은 동형의 존재다.
그렇다면
원숭이와 우리 인간의 관계도
커피와 도넛처럼 이해될 수 있을까?
동형이라 불리는 집합 속 각각의 원소 중
존재의 의미까지 동일 한 것은 얼마나 될까?
당신이 어느 곳에 숨든
당신은 세 가지의 불변성을 벗어나지 못한다.
탈출하는 방법은 한 가지!!
당신만의 집합을 다시 만드는 것 뿐,,,,
동형의 집합이 아닌
• 목차보기
1. 확실성이라는 보물을 찾아서 - 논리 그리고 증명
2. 소실점을 추구하는 수학자 - 극한과 미적분
3. 일반인에게는 비이성적 수학자의 이성 - 수 그리고 연속성
4. 무한의 저편에서 - 칸토어의 집합론과 초한수
5. 블랙홀의 발견 - 자연에서 발견되는 무한
6. 창조하는 현실 - 추상수학의 응용
7. 대칭도 추상이다 - 군론
8. 다양한 가능성이 있는 세계 - 차원
9. 0으로 빚어진 야단법석 - 0과 공집합
10. 상식보다 좋은 것은 없다고? - 비유클리드 기하학
11. 신념에 관한 소고 - 괴텔의 정리
12. 흐릿한 수정구슬 - 확률론과 통계
13. 체커게임과 체스게임 - 2인 게임이론
14. 야생의 외침 - 삼자 게임이론
15. 상상의 날개를 펴다 - 위상수학
16. 변화의 친숙한 모습 - 카타스트로피 이론
17. 전쟁과 평화 - 조합론
