지구표면 지역들의 4색 구분정리 증명

지구표면 지역들의 3 가지 상호관계

경계선을 공유. 경계선이 점만을 공유. 전혀 접하지 않음.

[1] 임의의 한 지역과 경계선을 공유하는 인접 지역들 전체의 지역들을 구분함에는 4 색으로 충분함.

[증명] 한 지역의 경계선을 공유하는 인접 지역들이 3 색으로 충분히 구분되기 때문임.

[예시1] 한 지역의 경계선을 공유하는 6 개의 인접 지역들이 2 색으로 구분되는, 6 각형 모양들로 된 모든 지역들은 3 색으로 구분됨.

[예시2] 한 지역의 경계선을 공유하는 4 개의 인접 지역들이 1 색으로 구분되는, 4 각형 모양들로 된 모든 지역들은 2 색으로 구분됨.

[2] 임의의 한 지역의 경계선을 공유하는 인접 지역들을 구분함에는 3 색으로 충분함.

[증명] 임의의 한 지역 내부 한점에서 이 지역의 경계선을 공유하는 인접 지역들의 경계선 교점들을 보조선들로 연결할 때, 보조선들로 연장된 지역들은 한 점에 접하는 지역들과 마찬가지로 되고, 한 점에 접하는 모든 지역들이 3 색으로 충분히 구분되기 때문임.

[3] 한 점에 접하는 모든 지역들을 구분함에는 3 색으로 충분함.

[증명] 한 점에 접하는 지역들 중 임의의 한 지역을 선정할 때, 이 지역의 경계선을 공유하는  인접 지역들이 2 색으로 충분히 구분되기 때문임.