절대주의 수리철학자들?

플라토니즘, 논리주의, 직관주의, 형식주의를 절대주의 교육사조라 일컫는다. 힐베르트를 중심으로 하는 형식주의자들의 수리철학관을 요약해보자.

형식주의에서의 수학은 아무런 의미도 부여되지 않는 기호의 나열에 불과한 형식체계로 규정된다.

힐베르트(Hilbert)는 완전한 형식화의 방법과 충분히 엄밀한 방법을 허용함으로써 수학의 전체분야가 모순이 없고 완전한 공리체계로 조직할 수 있음을 보이고자 하였다.

힐베르트에 있어서 수학의 확실성을 보증하는 것은 수학의 무모순성과 완전성에 있다. 수학을 의미가 배제된 기호의 형식적 계산으로 대치함으로써 의미를 포기하는 대가로 무모순성을 얻고자 하였다. 엄밀한 방법을 통해 공리체계로서의 모든 참인 수학적 명제들이 입증가능하다는 것을 보이려 하였다.

괴델(Goödel)의 불완전성의 정리에 의하여 형식주의자들의 이상은 좌절되었다. 괴델은 산술을 포함하는 수학체계의 무모순성은 입증할 수 없으며 어떠한 무모순성의 공리체계도 필연적으로 불완전하다는 것을 밝혔다.

무모순인 공리체계에 그 공리치계에서 입증도 반증도 할 수 없는 명제를 공리로 추가 한다 하더라도 그렇게 구성된 새로운 공리체계는 참이지만 결정 불가능한 명제를 갖게 된다.

형식주의에서는 직관주의에서 제한적으로 인정되었던 연역적 증명이 다시 강조된다. 형식주의는 보다더 엄밀한 연역적 증명을 강조한다.

형식주의에 증명은 수학이 무모순이고 완전한 공리체계라는 것을 입증하는 데에 핵심적 역할을 한다.

절대주의 수리철학자들은 무엇을 타당한 증명으로 인정할 것인가라는 점과 증명의 세부 내용에 있어서 상당한 관점의 차이를 보이기도 한다.

수학적 명제를 정당화하는 수단으로 증명의 본질을 파악하는 데는 공통적인 견해를 보이고 있다.

플라토니즘

수학 명제가 절대적으로 참임을 정당화하는 수단

논리주의

수학 명제가 논리적으로 참임을 정당화하는 수단

직관주의

구성적 증명을 통해 구성 가능성이 입증된 명제만을 참인 명제로 인정.

형식주의

증명을 의미 없는 기호조작으로 환원함으로써 무모순성과 완전성을 정당화.

절대주의 인식론에서 증명은 새로운 수학적 진리와 확실성을 보증하는 원천으로서 공리체계 내에서 수학적 진리를 공리로서 정리로 전달하는 유일한 메커니즘이다.

절대주의 수라철학자들의 수학인식론과 증명관은 다음과 같을 것이다.

  

논리주의 :

(인식론) 수학은 논리의 일부분, 수학적 개념을 논리의 개념으로 환원한다.

(증명관) 수학 지식을 논리적으로 정당화하는 장치. 수학적 진리는 논리의 공리와 추론 규칙만으로 입증 가능.

  

직관주의 :

(인식론) 직관은 수학적 지식의 근원으로 다른 어떤 논리보다 선행. 수학적 활동은 진리적으로 자명한 공리에 근거한 내성적 구성.

(증명관) 수학 명제의 참은 구성 가능성과 동치. 구성적 증명만을 인정, 비구성의 논증과 배중의 배제.

형식주의:

(인식론) 수학을 의미가 배제된 형식 체계로 재조직. 수학의 확실성; 무모순성과 완전성.

(증명관) 증명은 특별한 규칙을 따르는 의미없는 기호조직이며, 엄밀한 연역적 증명은 무모순성과 완전성을 보장하는 수단.