오늘은 미적분 문제이긴 하지만 확통 기하 선택자들도 충분히 풀 수 있는 문제고 근데 이런 문제를 이런 기조에서 평가원이 출제할 지는 의문이지만 알아두면 합성함수의 문제를 접근하는데 좋은 풀이법을 하나 알아가는 거니까 풀어봤으면 좋겠어!

이걸 그냥 풀이로 적으면 시간도 오래 걸릴 뿐더러 어려운데 그 유명한 n축을 사용하는 문제니까 모르는 사람은 먼저 본인 풀이대로 풀고 n축을 아는 사람은 n축풀이랑 그냥 풀이 두 번 다 써보는 걸로 하자

풀이는 축구 보고 천천히 오늘 밤에 올릴게...ㅎ

중요 point
-대치동어둠의스킬 n축

1. 합성함수는 합성꼴로 바꿔서 나타내자

합성꼴로 쪼개면 저 두 그래프의 간단한 개형을 그릴 수 있다



2. 합성함수에 대한 이해를 해보자

일단 합성함수의 가장 간단한 이해를 해보자

함성함수 h(x)=g(f(x))가 있을 때 g(x)의 '정의역'은 f(x)의 '치역'이 된다.

따라서 g(x)가 최솟값을 가지는 x값을 f(x)가 함숫값로 가지는 x값이 합성함수의 최솟값을 갖는 x값임을 알 수 있다.

+이게 이해가 안 된다면 합성함수에 대한 기초적 개념이 없는 상태니까 얼른 이 부분 개념강의를 듣거나 개념책을 다시 읽어보자




3. n축은 합성함수의 그래프나 개형을 쉽게 찾기 위해서 사용한다고 보면 된다

이제 이해가 깨지는 부분이 있을 수도 있기 때문에 집중하고 들어보자 따라서 합성함수 h(x)에서 g(x)의 '정의역'은 f(x)의 '치역'이 되므로 f(x)의 y축을 g(x)의 x축으로 생각하면 된다.

이것을 그대로 그래프로 나타내면

위의 지수함수는 x=0에서 최솟값을 가지므로 f(x)가 0이 되는 x값인 p와 q가 a와 a+4가 될 수 있다는 것을 알 수 있다. (( (가)조건 해결) ))






4. 조건 (나)를 위의 n축을 통해 바로 해석하자


위의 지수함수를 편하게 s(x)라고 할게
x=1에서 극댓값을 가진다고 했으므로 s(x)가 커졌다가 다시 작아지기 시작하는 점을 찾아야 하기 때문에 f(x)와 s(x)의 관계를 잘 살펴보자


g(x)는 x=0에서부터 점점 작아질 수록 함숫값을 증가하는 것을 알 수 있고

x가 음의 무한대에서 0까지 갈수록 계속 작아지는 것을 알 수 있다

따라서 f(x)가 p에서 극솟값을 가지는 x값까지는 함숫값이 0에서 점점 작아지므로 g(x)는 반대로 함숫값이 점점 커지는 것을 알 수 있고

f(x)가 극솟값을 갖는 x값에서 q까지 갈수록 함숫값이 음수에서 0까지 점점 커지므로 g(x)는 반대로 함숫값이 점점 작아지는 것을 알 수 있다

따라서 f(x)가 극솟값을 가지는 x값에서 함성함수가 극댓값을 가지는 것을 알 수 있다

따라서 f(x)의 극솟값을 가지는 x값은 1이다


++ 여기서 만약 q에서 p로 갈 순 없냐는 물음에는 그래프상 p가 q보다 x값이 작기 때문에 p에서 q의 순서로 함숫값을 매칭시키는 것이 옳다







5. 마지막 계산은 쉽게 하자

p=a q=a+4인 것을 알 수 있고 함숫값이 같으므로 a와 a+4의 평균이 1이므로

(2a+4)/2=1 이므로 a= -1이고

f(x)=p(x+1)(x-3)이다 (p 0이상)

x=1에서 합성함수가 17/4를 가질 수 있다는 것을 바탕으로 p값을 알아보자







6. 수학적 센스가 여기서 빛을 발한다

s(x)의 식을 자세하게 보면 서로 역수 관계의 함수의 것을 알 수 있고 17/4는 4와 1/4의 합인 것을 알 수 있다

따라서 값을 넣어보자 f(1)=-4p (p는 0 이상)

이므로 -4p는 음수이고 2의 -4p제곱은 1/4인 것을 알 수 있다.

따라서 p값은 1/2인 것을 알 수 있으며

f(x)=1/2(x+1)(x-3) 이고

f(5)= 6으로 답은 6인 것을 알 수 있다






당연히 처음 보면 어려운 풀이법이 맞으니까 처음부터 다 이해하려고 하지 말고 쉬는시간마다 글 읽어보면서 아 이런 얘기를 하는 거구나 천천히 조금씩 깨달으면 좋겠어

이건 잡담인데 개인적으로 난 수학 중에서 가장 어려운...? 보단 까다로운 과목이 수1이라고 생각해 사실 수2나 미적분은 정해진 풀이법을 통해서 누가 더 많은 문제를 풀고 풀이법을 익혔느냐에 대한 느낌이 큰데 수1은 도형문제 그래프문제 특히 15번 빈출 수열 문제는 딱히 수2 만큼의 정해진 풀이법도 없고 누가 더 빠른 풀이과정인지를 시험장에서 알 수가 없거든
특히 지수로그 함수 그리고 서로 관계 찾는 문제들 올해 6평 21번이나 재작년 수능 11번?인가 너무 싫더라

그래서 내가 하고 싶은 말은 나처럼 정말 많은 수학 문제를 풀고 분석한 사람도 기본적 11번에서 막히는 경우도 있고 극히 드물지만 3점짜리도 실수로 틀릴 때도 많다는 거야 그만큼 수학은 어떤 변수가 생길지 모른다는 거고 그만큼 까다롭다는 거겠지 그러니까 한 문제 틀렸다고 너무 스트레스 받지 말고 내가 틀리면 다른 얘들도 틀린다...! 이 생각 가지고 공부하고 또 그렇다고 다른 얘들도 틀리니까 나도 틀려야지 이러면 혼나ㅡㅡ 난 이거 대비에서 나중에 또 나오면 나만 맞출 수 있도록 해야지라고 생각하고 공부했으면 좋겠어