제1장. Vector의 해석

1. 스칼라와 벡터

1) 스칼라 : 크기만을 가진 양
길이, 질량, 온도, 전위, 자위, 에너지 등

2) 벡터 : 크기와 방향을 가지고 있는 성분 ⇒ 운동계
힘, 속도, 가속도, 전계, 자계, 토크(회전력) …

3) 벡터의 표기
크기×단위벡터(방향) 
*단위벡터:크기가 1이면서 방향성분을 나타내는 벡터

① 전계의 세기
 

② 자계의 세기
 

2. 벡터의 종류
1) 기본벡터
    크기가 1이면서 각 좌표의 방향을
    나타내는 방향성분 벡터

① 직각좌표 (공간좌표)

   축 방향 표시 벡터
   축 방향 표시 벡터
   축 방향 표시 벡터

임의의 벡터 의 좌표 이 인 좌표를 지난다면 로 표현할 수 있다.

② 원통좌표
 
    좌표점 :
    기본 Vector :
      벡터

③ 구좌표계
 
    좌표점 :
    기본 Vector :
    벡터

2) 단위벡터(Unit Vector) : 크기가 1인 벡터를 말하며 , , 를 포함한다.
임의의 벡터라 하면
이 벡터의 크기는 이므로

  
보기)일 때 단위 벡터를 계산하라
해설)이므로
 
   

3) 법선벡터
 크기가 1이면서 폐곡면에 대해 수직인 벡터를 말하며 두 벡 터를 회전시켰을 때 발생하는 또다른 벡터의 진행 방향이  폐곡면에 수직으로 발생하므로 이 때 표기하는 벡터이다.
 

3. 벡터 가감법

1) 평행 사변형법   2) 삼각형법

3) 해석적인 방법
 , 일 때
는 다음과 같다.

4. 좌표계의 종류

(1) 직각좌표계
는 Vector 의 성분 Vector이고, 
성분의 크기는 각각 이다.
따라서,
      
     
    

【방향 여현】각 방향과의 여현함수(cos)
  :와축이 이루는 각
  :와축이 이루는 각
  :와축이 이루는 각
    

2) 원통좌표계 ⇒ 전류에 의한 자장 (회전계의 벡터)
 
 
 
 

3) 구좌표계 ⇒ 전하에 의한 전장, 전기력선 (발산계의 벡터)

5. 벡터의 내적과 외적

1) 내적(inner product)
①  내적(스칼라적)
도트적이라고 하며 연산의 결과가 스칼라량이다. 

ⅰ) 계산 방법

 (교환법칙 성립)

일반적으로 A 도트 B라고 읽으며 이 연산의 의미는 방향이 다른 두 벡터의 곱셈을 할 때 두 벡터의 방향을 일치시킨 후 그 크기만을 곱하는 것이다.
가장 대표적인 예가 질량 인 물체를 바닥에 놓고 힘을 가하여 직선거리를 이동시켰다면 이 때 힘이 행한 일을 계산할 때 사용하는데 그 이유는 힘의 벡터가 이동거리 벡터와 임의각 θ를 이루며 힘을 가하더라도 실제 이동은 바닥으로만 이동하므로 방향 성분을 일치시켜 계산하는 것이다. 

ⅱ) 기본 Vector의 내적
같은 성분끼리 내적을 하면 1이다.
이므로
이다.

수직 성분끼리 내적을 하면 0이다.
이므로

보기1) , 일 때
 는?
해설)
           

보기2) 어떤 물체에 의 힘을 가해서 에서 로 이동하였다면 이 때 한 일[J]은?
해설)
     
 
  

② 외적(cross product, outer product)

ⅰ) 계산 방법
 
  :벡터에서 벡터로 회전(오른 나사의 회전  방향)시켰을 때 발생하는 회전 벡터의 진행 방향 (오른 나사의 진행 방향)의 단위 Vector
   즉, 의 법선 단위 Vector

 일반적으로 A 크로스 B라고 하며 이 계산의 의미는 방향이 서로 다른 두 벡터의 곱셈을 할 때 두 벡터의 방향을 수직으로 한 후 그 면적을 크기로 하고 그 면에 수직인 벡터를 곱하여 계산한다.
 이 계산의 예로는 길이가인 도체를 힘 을 가하여 회전시켰다면 이 막대에서 발생하는 회전력의 크기와 방향을 계산하는데 사용된다.
  

ⅱ) 기본 Vector의 외적
   같은 성분끼리 외적을 하면 0이다.
  

   수직 성분끼리 외적을 하면 이들 벡터의
   또 다른 수직 벡터가 된다.
회전:오른 나사 방향ⓐⓑⓒ  회전:오른 나사 반대(-)ⓐⓑⓒ

보기) 두 Vector의 외적은?

6. 벡터의 미분
경도(gradient), 발산(divergence), 회전(rotation), 프와송의 방정식, 라플라스 방정식 등을 연산하기 위해서는 벡터의 미분 연산자를 이용하여 해석한다.
함수를 미분할 때는 , , 로 표기
백터를 미분할 때는 , , 로 표기
 ⇒에 대해서만 미분, 나머지는 상수 취급
 ⇒에 대해서만 미분, 나머지는 상수 취급
 ⇒에 대해서만 미분, 나머지는 상수 취급

1) 벡터의 미분연산자() : nabla, 헤밀튼 연산자
각 성분을 편미분하여 방향 성분 벡터를 곱한 것
 

2) 기울기 벡터
경도(gradient)와 같으며 임의의 스칼라 함수에 를 취하면
 그 함수의 기울기 벡터가 된다.
스칼라 함수 전위 V의 기울기 벡터는 다음과 같다.

3) 발산(Divergence)
수학적으로 발산은 단위 체적당 유전속선의 발산수를 의미하며 물의 증발량이나 열의 발산량 또는 전속밀도의 발산량 계산시 이용되는 식이다.

① 직각 좌표계의 발산
  
         
         

② 원통 좌표계의 발산

③ 구좌표계의 발산

보기) 일 때 는 얼마인가?
  

4) 회전(rotation)

① 벡터의 회전으로 인해 발생하는 벡터 계산
 벡터가 회전하면 이 벡터의 크기는 임의의 선적분 경로내 면적이며  진행 방향은 오른 나사의 진행방향이다.
로 표기

②일 때

5) (기울기 함수의 회전)

6) 라플라스 연산자(Laplacian)

     
보기) 일 때 는 얼마인가?
      
           

7)

8) Stokes의 정리
 임의의 벡터에 대해 접선 방향에 대해 폐경로를 선적분한 값은 이 벡터를 회전시켜 법선 성분을 면적 적분한 값과 같다.
 

9) Gauss의 발산 정리
 임의의 폐곡면에서 발산하는 전기력선의 총수는 이 폐곡면의 미소 체적에서 발산하는 전기력선의 총수를 합한 것과 같다.