12 13번 정도 되는 난이도의 4점 문제에 사용되는 아이디어 정리해서 하루에 한 개씩 알려줄게
다른 글 읽을 시간에 이거 읽고 아이디어 하나씩 얻어가서 관련 문제 나왔을 때 참고하도록 했으면 함
중요한 point
-삼차함수의 비율관계
-삼차함수 비율관계를 통한 간단하게 식 세우기
-구간 정의를 통해 M/m값 설정하기
1. 삼차함수의 최고차항이 양수이고 극댓값과 극솟값을 갖는다는 조건으로 f(x) 개형 그리기
2. 삼차함수의 비율관계를 통해서 f(x)의 함숫값이 10과 2인 지점을 체크한다
3. [p,q]에서 q-p가 최댓값을 갖는 지점이 p=a q=a+4k
이므로 p-q=4k=8이므로 k=2
4. p-q가 최솟값을 갖는 모든 p 값이므로 모든 구간을 체크해야 한다
여기서 주의할 점은 모든 ~의 값을 구하라는 조건은 대부분 케이스를 나누거나 특수한 상황에서만 성립한다.
이 문제에서는 이미 그래프 개형이 고정되어 있으므로 케이스 분류가 아닌 특수한 케이스를 확인한다
5. 따라서 [a,a+2] [a+6,a+8] 구간이 p-q값이 2로 최솟값을 가지므로 모든 p 값의 합은 2a+6이 된다 2a+6=10이므로 a=2
6. f(12)의 값을 구해야 하므로 함수 식을 세워야한다
주의사항 무지성으로 미분계수가 0인 지점으로 무지성 적분하지 말고 삼차함수의 비율관계를 통해 식을 간단하게 세운다
p는 최고차항의 계수 (p>0)
f(x)=p(x-4)^2(x-10)+10 을 구했다면
함숫값이 2가 되는 지점의 x값을 알고 있으니 x= 2나 8을 대입하여 p값을 구한다
(계산생략) p=1/4이 나온다
따라서 f(x)=1/4(x-4)^2(x-10)+10
f(12)= 42
[a,b] 구간과 다항함수가 섞여서 나오는 경우 많은 얘들이 어려운 줄 알고 쫄음
하지만 구간 사이에서 근의 개수나 최솟값 최댓값을 구하는 문제가 나온다면
먼저 그래프의 개형을 그린 뒤에 변곡점, 극점을 기준으로 구간을 움직여 보면서 구하려는 값을 구해보자
많은 2 3 4등급 학생들이 어려워할 만한 문제 가지고 와서 많이 알려줄게
문제는 너 혼자 먼저 풀어보고 이걸 보는 걸 추천하지만 그럴 상황이 아니라면 혼자 문제만 읽고 어떤 식으로 접근해야 될지 생각해보고 글을 읽었으면 함
아마 매일 저녁에 올릴 것 같음 똑같은 제목으로 올릴 거니까 글 못 찾으면 검색해서 찾아봐
이번 문제는 12번 난이도 정도 되는 문제라고 생각함
중요 point
-주기함수의 적분은 규칙성을 통해 넓이를 파악
-주기함수는 식보다 그래프로 먼저 해석하자
-여러가지 문자가 섞여있다고 쫄지 말 것
-간단한 케이스 분류는 쫄지 말고 해보자
-이차함수의 넓이 공식을 모르는 사람은 이젠 없겠지?
+친 곳은 문제를 조금 더 쉽게 풀 수 있도록 먼저 생각해봐야 할 생각이니까 꼭 참고 할 것
당연히 먼저 글 보지말고 혼자 문제 보고 풀어보거나 생각을 해보고 글을 읽자
이런 문제 유형은 지금까지 상당히 많이 나온 유형이니까 만약 풀이방법까지 알고 있다면 공부를 열심히 한 것이고 모른다면 이번 기회를 통해 꼭 알아갈 것.
이 문제는 변수가 상당히 많아 보인다 a b c Sn에 관한 식 등등 하지만 쫄지 말고 문제 해석을 꼼꼼하게 한다면 쉽게 풀 수 있다.
1. 주기함수에 대한 식이 나온다면 쉬운 x값을 대입해서 나머지 함숫값을 얻어내자
(나) 조건에서 x=0을 대입하면 f(2)=0이라는 것을 알 수 있다.
2. 케이스 분류하기 전에 Sn-Sn-1=8이 무슨 뜻인지 알고가야 케이스 분류를 더욱 쉽고 빠르게 할 수 있다.
하지만 우리는 공부하는 입장이기에 케이스 분류를 모두 해보고 그 다음 Sn에 대한 식에 대한 해석을 할 것임.
+변수가 많은 상황에서 범위를 나눠야 할 때는 일단 0을 기준으로 먼저 시작해보자
(1) a가 양수 c가 양수
이러한 케이스의 경우 Sn값이 점점 더 빠른 속도로 감소하기 때문에 Sn-Sn+1=8이라는 조건에 모순된다.
케이스 탈락
(2) a가 음수 c가 양수일 때
마찬가지로 Sn값에서 n이 커질수록 더 빠르게 감소하므로 8로 일정하지 않은 값이 나온다
케이스 탈락
(3) a가 음수 c가 0일 때
이젠 감이 잡힌 친구들이 있을 것이다 S1=A
S2=2A S3=3A ••• 로 Sn-Sn+1값이 일정하게 유지 되지만 -A로 음수값이 나오므로 모순이다
케이스 탈락
(4) a가 양수 c가 0일 때
S1=-A S2=-2A S3=-3A로 Sn-Sn+1=A인 양수로 알맞는 케이스를 구했다
또한 Sn-Sn+1=8=A로 넓이값까지 구했음을 알 수 있다
4. 넓이값을 통해서 a b c 변수를 구하자
여기서 식 세워서 적분하는 건 너무나도 시간낭비이다 이차함수의 넓이 공식을 통해서 빠르게 구하자 모르는 사람은 구글에서 검색해서 꼭 외우도록하자
아무튼 이차함수의 넓이공식을 통해서 최고차항의 계수는 a=6 x=2에서 근을 가지므로 b=-12 c=0임을 알 수 있다
f(x) =6x^2-12x
5. 이제 적분하자
a+b = -6
c= 0이므로
주기가 3번 반복된 넓이이므로 8×3= 24
답은 24가 나온다
범위를 구할 땐 특수한 경우가 아니라면 0을 기준으로 양수 음수 0일 때를 체크해보고 또 다른 조건을 통해서 케이스 분류의 범위를 확 좁혀서 풀이시간을 단축
