(3,4,5), (5,12,13) 등의 피타고라스 수가 발견된 이후 2580 년 동안, 이 수들을 구하는 수많은 공식들이 제시되었으나, 모든 피타고라스 수를 완벽하게 구하는 공식이 없었고, 모든 피타고라스 수가 거듭제곱 수들만으로는 이루어 질 수 없다는 사실을 증명하지도 못하였습니다.    아래의 내용은 모든 피타고라스 수를 완벽하게 구하는 공식을 발견함과 동시에 거듭제곱이 될 수 없는 사실에 대한 증명입니다.

거듭제곱이 될 수 없는 모든 피타고라스 수

일반적으로 방정식 Xn+Yn=Zn 에서, A=Z-Y, B=Z-X 일 때, Y+A=X+B=Z 이 되고,

X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z 이 된다. 그리고 아래와 같이 G 를 정할 수가 있다.

G=(X-A)/(AB)1n=(Y-B)/(AB)1/n=(Z-A-B)/(AB)1/n=(X+Y-Z)/(AB)1/n

그리고 위 식으로부터 아래와 같은 X, Y, Z 와 (X+Y-Z) 를 얻는다.

X=G(AB)1/n+A, Y=G(AB)1/n+B, Z=G(AB)1/n+A+B, X+Y-Z=G(AB)1/n

여기에서 n=2 일 때의 자연수들 (X,Y,Z) 를 피타고라스 수라고 한다.

X2+Y2=Z2

X+Y-Z=G(AB)1/2>0, G>0.

{G(AB)1/2+A}2+{G(AB)1/2+B}2={G(AB)1/2+A+B}2

위 식에서 G=21/2 을 구할 수 있고, 아래와 같은 공식을 얻게 된다.

X=(2AB)1/2+A, Y=(2AB)1/2+B, Z=(2AB)1/2+A+B

따라서 모든 자연수 (A,B) 에서 2AB=k2 을 만족하는 자연수들 (X,Y,Z) 는 모든 피타고라스 수를 나타내고, 다음 증명과 같이 피타고라스 수들은 거듭제곱이 될 수가 없는 것이다.

XY={(2AB)1/2+A}{Y=(2AB)1/2+B}

위 식에 2AB=k2(k is 1,2,3...) 을 적용하여 아래와 같이 변형한다.

XY=k(k+A)(k+2A)/2A=k(k+B)(k+2B)/2B

자연수 (A,B) 는 서로 소의 관계임으로 A=c2, B=2d2 일 때, 위 식은

XY=2cd(c+d)(c+2d) 가 된다.

식 2cd(c+d)(c+2d) 는 서로 소의 관계인 (c,d) 에서 거듭 제곱이 될 수가 없다.

만약 c=en, d=2(n-1)fn 이라고 하면, 아래와 같은 결과를 얻게 되는 것이다.

(2ef)n{en+2(n-1)fn}[en+2{2(n-1)fn}]=(2efst)n

이 때 (s,t) 는 아래와 같이 절대로 자연수가 될 수 없기 때문이다.

{en+2(n-1)fn}[en+2{2(n-1)fn}]=(st)n

{en+2(n-1)fn}=sn

{sn+2(n-1)fn}=tn

1=(tn-sn)/(sn-en), 2sn=tn+en

{en+f+1}{en+2(f+1)}=(st)n

{en+f+1}=sn

{sn+f+1}=tn

1=(tn-sn)/(sn-en), 2sn=tn+en

{en+f}{en+2(f)}=(st)n

{en+f}=sn

{sn+f}=tn

1=(tn-sn)/(sn-en), 2sn=tn+en

.

.

.

{en+2}{en+2(2)}=(st)n

{en+2}=sn

{sn+2}=tn

1=(tn-sn)/(sn-en), 2sn=tn+en

{en+1}{en+2}=(st)n

{en+1}=sn

{sn+1}=tn

1=(tn-sn)/(sn-en), 2sn=tn+en. 끝.