국어사전에는 더위에 대해 다음과 같이 나와 있다.

더위[명사]
1.(여름철의) 더운 기운.
예) 올 여름 더위는 유별나게 심하다. ↔추위.
2.더위로 해서 생기는 병증. 서증(暑症).

즉, 더위에는

"더위로 해서 생기는 몸의 이상 증세"라는 뜻도 있는 것이다.

또한 "더위(를) 먹다"는 관용어로서
"더위 때문에 소화 기능이 약화되거나 하는 병증이 생기다. 더위(가) 들다."

라는 뜻이 있다. 
예) 더위 먹은 것처럼 입맛이 뚝 떨어졌다.

그렇다면 더위란 먹는 음식이 아닌데

왜 먹는다고 표현했을까?

그 이유는 먹다에는 음식물을 섭취한다는 의미외에도

"무엇을 하거나 어떻게 됨"이라는 뜻도 있기 때문이다.

다음 예를 살펴 보자.

가는귀가 먹다. : 귀가 잘 들리지 않는다.

어떻게 되었는가? 귀가 들리지 않게 되었다.

겁먹다 : 무서워하는 마음을 가지다.

어떻게 되었는가? 두려움을 갖게 되었다.

귀먹다 : 귀의 기능이 나빠지다.

어떻게 되었는가? 귀가 나빠졌다.

욕먹다 : 욕설을 듣다.

어떻게 되었는가? 욕을 듣게 되었다.

잊어 먹다 : 어떤 사실에 대한 기억을 못하다.

어떻게 되었는가? 기억을 못하게 되었다.

그러므로, 더위를 먹었다 는 것은

입을 통해서 더위를 먹었다는 것이 아니라

"더위로 인해 병증을 갖게 되었다."는 뜻이다.

출처 : 네이버 오픈 백과사전